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[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

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De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
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Data: 30/01/04 15:09

On Fri, Jan 30, 2004 at 04:38:49AM +0000, Márcio Pinheiro wrote:
> >O período fundamental pode não existir se o conjunto dos períodos
> >não tiver mínimo; para funções contínuas isto só ocorre se f for
constante
> >mas a função característica de Q, f(x) = 1 se x é racional e f(x) = 0
> >se x é irracional, tem qualquer número racional como período.
> >É bem óbvio que a função constante igual a 0 está na nossa classe.
> 
> Não conheço esse teorema, qual seja: Uma função contínua não tem período 
> mínimo somente se for cnostante. Onde posso encontrar alguma explanação 
> dele?
> Perdão pela insistência, mas como se resolve o problema de forma completa?
É 
> possível?

Eu tambem nao conhecia este teorema, aqui vao algumas idéias. Suponhamos que
f seja continua e periódica em R e seja P o conjunto dos períodos de f. Por
definição, P eh limitado inferiormente por 0 e, desta forma, existe w = inf
P. Vamos inicialmente mostrar que w pertence a P. Pela definição de infimo,
temos que w estah no fecho de P e, desta forma, existe uma seqüência (p_n)
em P que converge para w. Fixemos um x em R. Entao, (x + p_n) converge para
x+ w. Da continuidade de f, segue-se que (f(x+p_n)) converge para f(x+w).
Mas,m da definição de periodo, temos, para todo n, que f(x+ p_n) = f(x).
Logo, (f(x+p_n)) eh uma seqüência constante em que todos os termos
igualam-se a f(x), o que acarreta trivialmente que a mesma convirja para
f(x).  Logo, f(x+w) = f(x), o que nos mostra que w eh período de f e que,
portanto, w estah em P. Se w>0, entao temos que w eh o período fundamental
de P.
Mas pode acontecer que w=0, caso em que não existe período fundamental.
Vamos agora mostrar que, neste caso, f eh constante em R. Fixemos um x>0 (se
x<0, o raciocínio eh inteiramente análogo). Como w=0, para todo natural n
existe p_n em P tal que 0<p_n< 1/n^2 e, portanto, n*p_n <1/n.. Entao,
(n*p_n) ->0, o que significa que, para todo h>0, podemos encontra n e p_n
tais que x-h < n*p_n < x. Como cada p_n eh período de f, para cada n temos
f(n*p_n) = f(0). E da continuidade de f em R, logo em x, temos que f(x) =
f(x-h)  + o(h). Mas, como para todo h>0 conseguimos encontrar n que
satisfaça a x-h < n*p_n < x, temos que f(x)  - f(n*p_n) = f(x) – f(0) = 
o(x-n*p_n) , o que acarreta que f(x) = f(0) . Como x eh arbitrario,
concluimos que f eh constante. Por contraposiçao concluimos tambem que, se f
não for constante, entao w>0,e o período fundamental existe.
Artur


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