RE: [obm-l] Teorema das raizes racionais.

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Naum sei se este eh o teorema ao qual vc se refere, mas o que eu conheco por
este nome diz o seguinte: Seja P um polinomio de coeficientes inteiros dado
por P(x) = a_0 + a_1x.....+a_n x^n (a_n<>0). Se a fracao irredutivel p/q, p
e q inteiros, q<>0, for raiz de P, entao p divide a_0 e q divide a_n.
Uma forma de vermos isto comeca observando o fato de que, se r eh raiz de P,
entao, para todo real x, P(x) = (x-r)* Q(x), onde Q eh um polinomio de grau
n-1. Para facilitar, consideremos inicialmente o caso particular em que q=1
e p, consequentemente, eh raiz de P. Como os coeficientes de P sao inteiros
e os do binomio x-p sao 1 e -1, o algoritmo da divisao de polinomios
acarreta que os coeficientes de Q sejam inteiros. Temos entao que P(x) =
(x-p)* Q(x) e, portanto, P(0) = a_0 = -p * Q(0). Como Q(0), o termo
independente de Q, eh inteiro, segue-se que p divide a_0. E como q=1 eh
divisor de a_n, concluimos que o teorema vale neste caso particular.

No caso geral, observamos que, se p/q eh raiz de P, entao a_0 + a_1
*(p/q)...+ a_n*(p/q)^n = 0. Logo, a_0*q^n + a_1*p*q^(n-1)  + ....a_n*p^n =0.
Temos portanto que p eh raiz do polinomio P1 de coeficientes (do termo
independente para o do termo de grau n) a_0*q^n, a_1*q^(n-1),...a_n e q eh
raiz do polinomio P2 de coeficientes (mesma convencao) a_n*p^n,
a_(n-1)*p^(n-1),...a_0. Eh imediato que os coeficientes de P1 e de P2 sao
inteiros. Aplicando-se o caso particular do teorema, jah demonstrado, a P1,
concluimos que p divide a_0*q^n. Mas como p/q eh uma fracao irredutivel,
segue-se necessariamente que p divide a_0. De modo similar,  aplicando-se o
caso particular do teorema a P2 concluimos que q divide a_n*p^n e que,
portanto, q divide a_n. Isto completa a demonstracao do teorema.  

Exemplo simples: os racionais 3/2 e 1/2 sao raizes  do polinomio do 2o grau,
de coeficientes inteiros, P(x) = 4x^2 - 8x + 3. Verificamos facilmente que
as condicoes especificadas no teorema sao validas. Outra aplicacao: podemos
afirmar que P(x) = x^579 - 785*x^273 + 4297*x^198 + 1 nao admite raizes
racionais. Segundo o teorema, se a fracao irredutivel p/q for raiz de P,
entao p divide 1 e q divide 1. Para que isto seja possivel, temos que p=q =1
e p/q =1, o que faz de 1 o unico racional candidato a raiz de P. Mas 1,
decididamente, naum eh raiz de P.

Finalmente, eh interessante observar que a reciproca do teorema nao eh
verdadeira.  
Abracos
Artur   
 

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>From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
>Behalf Of Victor Machado
>Sent: Tuesday, January 27, 2004 7:15 PM
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Teorema das raizes racionais.
>
>Olá pessoal.
>Gostaria de saber como é o Teorema das Raízes Racionais, como prová-la e um
>exemplo de aplicação.
>Muita coisa ? :)
>Obrigado.
>Víctor.
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