[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Qual O perí odo de uma função?

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Jan 27, 2004 at 04:07:45PM -0200, Artur Costa Steiner wrote:
> Conside a classe de funções f que satisfazem f(x) = f(x+1) + f(x-1)
> para todo x. Prove que toda função nesta classe é periódica e determine
> todos os valores possíveis para o período fundamental.
> 
> []s, N.
> 
> Temos que f(x+1) = f(x+2) + f(x) = f(x+2) + f(x+1) + f(x-1). Logo, f(x+2) =
> -f(x-1) para todo real x. Decorre portanto que f(x+3) = -f(x)  e que f(x+6)
> = -f(x+3) = f(x). Logo, f eh periodica e 6 e um periodo da mesma.

Tudo o que você disse é verdade mas você não resolveu o problema
de forma completa. O fato de 6 ser um período só garante que o período
fundamental, se existir, é da forma 6/n para algum inteiro positivo n.
Você não esclareceu se existem funções nesta classe com períodos fundamentais
3, 2, 3/2, 6/5, 1, 6/7, ...

O período fundamental pode não existir se o conjunto dos períodos
não tiver mínimo; para funções contínuas isto só ocorre se f for constante
mas a função característica de Q, f(x) = 1 se x é racional e f(x) = 0
se x é irracional, tem qualquer número racional como período.
É bem óbvio que a função constante igual a 0 está na nossa classe.

[]s, N.
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================