Re: [obm-l] problemas

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

Continuando a outra mensagem...

On Mon, Jan 26, 2004 at 12:14:16PM -0200, amurpe wrote:
> 3) Suponha que em frente a janela do seu apartamento  
> exista um numero infinito de janelas de edificios de onde 
> as pessoas possam ver seu apartamento.se em cada instante 
> a media de pessoas olhando o seu apartamento e de duas 
> pessoas, qual e a probabilidade de que em um determinado 
> instante:
> 
> a) ninguem esteja olhando.
> b)Ao menos duas pessoas estejam olhando.

Eu interpreto assim. Há um grande número N de pessoas
que podem olhar para a sua janela. Cada uma delas
decide olhar ou não independentemente das outras.
Sabemos que a cada instante dado, o valor esperado
para o número de pessoas olhando é 2 assim a probabilidade
de cada pessoa estar olhando é 2/N.

Seja pk(N) a probabilidade de termos exatamente k pessoas
olhando em um dado instante. Estamos interessados no limite

pk = lim_{N -> infinito} pk(N)

Temos 

pk(N) = binomial(k,N) (2/N)^k (1 - (2/N))^(N-k)
      = (2^k/k!) * (N*(N-1)*...*(N-k+1)/N^k) * (1 - (2/N))^(N-k)

e não é difícil provar que

lim_{N -> infinito} (N*(N-1)*...*(N-k+1)/N^k) = 1

lim_{N -> infinito} (1 - (2/N))^(N-k) = e^(-2)

assim

pk = e^(-2) 2^k/k!

Isto é uma distribuição de Poisson.

Assim a probabilidade de ninguém estar olhando é
p0 = e^(-2) ~= 0.1353352832.
A probabilidade de pelo menos duas pessoas estarem olhando é
1 - p0 - p1 = 1 - e^(-2) - 2*e^(-2) ~= 0.5939941504.

> resposta-a :10/74, resposta-b:44/74

10/74 ~= 0.1351351351 e 44/74 ~= 0.5945945946 estão bem próximos
das respostas que eu achei mas não tenho a menor idéia de onde
saíram.

> 4)Qual a probabilidade de entre 720 pessoas, exatamente 
> duas pessoas facam anos no dia de natal?

A probabilidade de uma dada pessoa fazer anos no dia de natal
é p = 1/365 se supusermos os 365 dias do ano equiprováveis (hipótese
aliás altamente duvidosa) ou p = 4/1461 se levarmos em conta
um ano bisexto de 4 em 4 anos.

De qualquer forma a resposta correta seria

binomial(720,2) * p^2 * (1-p)^(720-2).

Para p = 1/365 isto dá aproximadamente 0.2709957267.
Para p = 4/1461 isto dá aproximadamente 0.2709905036.
 
> resposta: 10/37.

10/37 ~=  0.270270270270 está razoavelmente perto mas novamente
não sei de onde tiraram este valor.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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