Re: [obm-l] O JOGO DE PASSA DEZ!

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Jan 22, 2004 at 07:10:15PM -0300, jorgeluis@edu.unifor.br wrote:
> Ok! Nicolau e demais colegas! outro fato curioso é que os sábios que criaram o 
> cálculo de probabilidades, encontraram especialmente no jogo de dados, um 
> material simples e bem preparado, que lhes facilitou de forma singular os 
> primeiros passos. Uma primeira dificuldade, resolvida por Pascal na sua 
> correspondência com o Cavaleiro de Méré, relaciona-se com a enumeração exata 
> dos casos. Tratava-se do jogo de passa-dez, que se joga com três dados; um dos 
> jogadores aposta que o total dos pontos será superior a 10 e o outro que será 
> igual ou inferior a 10; vê-se que os dois jogadores dispõem de iguais 
> possibilidades. Mas havia a seguinte dificuldade: uma paciente enumeração de 
> grande quantidade de partidas mostrara ao Cavaleiro de Méré que o jogador do 
> passa-dez ganha mais amiúde com 11 do que com 12 pontos. Qual a explicação para 
> tal fato?

Basta ver que é mais provável tirar 11 do que 12.
Há 27 maneiras de tirar 11 e só 25 maneiras de tirar 12.
Um problema *bem* mais difícil é a seguinte generalização bem natural.

Tome uma coleção finita de dados. Os dados não precisam ter 6 faces,
o número de faces é um inteiro positivo qq n, e as faces são numeradas
de 1 a n. O valor de n (o número de faces) pode inclusive variar de um dado
para outro, isto é, estamos misturando dados de vários tipos.
A única restrição é que cada dado deve ser honesto, i.e.,
que em um dado com n faces cada face tem probabilidade 1/n.
Os dados também são independentes uns dos outros, claro.
Vamos jogar todos os dados da coleção e somar todos os números sorteados:
chamemos esta soma de N.

É bem fácil calcular os valores mínimo e máximo possível de N:
Nmin é o número de dados e Nmax é o número total de faces de todos os dados.
Seja Nm = (Nmin + Nmax)/2.

Sejam N1 > N2 >= Nm. Prove que prob(N=N1) <= prob(N=N2).

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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