Re: [obm-l] Uma belissima demonstracao

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Ricardo e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Ou voce nao leu a demonstracao que apresentei com atencao ou voce nao 
conhece a
demonstracao de Euclides ...

Na prova de Euclides ele considera o PRODUTO DE TODOS OS PRIMOS, supostos em 
numero
finito, isto e : M = 2*3*5*7*11*13*17*19*...*Pn + 1. Na demonstracao que 
apresentei eu
considero O PRODUTO DE TODOS OS NUMEROS, PRIMOS OU NAO, isto e : M= N! + 1.
Veja bem : N !. Isto e : M=1*2*3*4*5*6*7*8*9*...*N + 1.

Sao, portanto, provas distintas.

Aqui vai outra, que eu ja conhecia ( nao sei quem fez ) :

Suponha que o numero de numeros primos e finito. Seja P1, P2, ..., Pn uma 
enumeracao destes
numeros e faca N = P1*P2*P3*...*Pn. Entao o numero N-1 sera composto, pois 
ele e maior que
qualquer dos primos. Segue que existe Pi que divide N-1. Ora, Pi divide N e 
divide N-1, logo
Pi divide N - (N-1), isto e, Pi divide 1 ..... ABSURDO !!!!!

Aqui vai outra, que eu tambem ja conhecia ( foi Euler que descobriu ) :

Suponha que o numero de numeros primos e finito. Seja P1, P2, ..., Pn uma 
enumeracao destes
numeros. Sabemos que a progressao geometrica infinita :

Si =1 + (1/Pi) + (1/(Pi^2))  + (1/(Pi^2)) + ... tem soma 1/(1 - (1/Pi))
Isto e : Si =1 + (1/Pi) + (1/(Pi^2))  + (1/(Pi^2)) + ... = 1/(1 - (1/Pi))

Fazendo i varia de 1 ate N e multiplicando membro a membro as N igualdades 
que obtemos,
chegaremos a :

S1*S2*S3*...*Sn =[1/(1 - (1/P1))]*[1/(1 - (1/P2))]*...*[1/(1 - (1/Pn))]

Como o numero dos numeros primos e finito e TODO NUMERO PODE SER EXPRESSO 
COMO
UM PRODUTO DE PRIMOS, do lado esquerdo surgira, necessariamente, a serie 
harmonica :

1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + ...

que sabemos que DIVERGE e, consequentemente, o lado esquerdo diverge e SE 
TORNA MAIOR
QUE QUALQUER NUMERO REAL FIXO. Ja o lado direito e um produto finito de 
numeros reais, isto e,
UM NUMERO REAL FIXO ... ABSURDO !!!

Aqui vai outra, que eu tambem ja conhecia ( foi Goldback que descobriu )

Os numeros da forma : Fn=(2^(2^n)) + 1 sao chamados NUMEROS DE FERMAT, pois 
Fermat
conjecturou que eles eram primos. Euler mostrou que a conjectura era falsa, 
pois calculou F5 e
mostrou que 641 divide F5.

OBS1 : Talvez Fermat tenha feito tal conjectura motivado pelo fato ( 
verdadeiro ) de que se
2^N + 1 e primo entao N = 2^K para algum K

Os numeros de Fermat tem uma propriedade simples e interessante, qual seja :
Fn - 2 = (Fn-1)*(Fn-2)*...*(F1)*(F0).

OBS2 : Para ver como se chega a esta propriedade,  basta notar que :
(Fn) - 2 = (2^(2^n)) - 1 = [(2^(2^(n-1)) + 1]*[(2^(2^(n-1))) e aplicar esta 
fatoracao
reiteradamente N vezes

Suponha agora que Fn e Fm sao dois numeros de Fermat distintos. Sem perda de 
generalidade
podemos supor m < n. Seja p um fator primo comum a Fm e Fn, digamos, p. Ora, 
como m < n
entao Fm divide (Fn) - 2, pois (Fn)-2= (Fn-1)*(Fn-2)*...*(F1)*(F0). Assim, p 
divide Fm e Fn e,
alem disso, Fm divide (Fn) - 2. Segue que p divide (Fn) - 2. Portanto, p 
divide Fn e (Fn)-2. Logo
: p divide Fn - ( (Fn) - 2 ). Isto e : p divide 2. Isto e : p=2 ... ABSURDO 
! Pois qualquer numero
de Fermat e necessariamente impar e, portanto, nenhum deles pode ter 2 como 
fator primo.

Fica portanto provado que dois numeros de Fermat sao primos entre si. Ora, o 
numero de
numeros de Fermat e infinito. Logo : existem infinitos numeros primos.

Bom, vou ficar por aqui. Existem muitas provas sobre a infinitude de primos 
e eu devo conhecer
apenas cerca de uma duzia.

Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
4,1252,210104








i.


>From: Ricardo Bittencourt <ricbit@700km.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Uma belissima demonstracao
>Date: Wed, 21 Jan 2004 11:39:12 -0300
>
>Paulo Santa Rita wrote:
>
>>Alguem, recentemente, me enviou uma demonstracao da existencia de 
>>infinitos numeros primos
>>que e muito simples e bela e que eu nao conhecia. Segundo esta pessoa, 
>>esta prova foi encontrada
>>independentemente por Kumer e Hermite, dois Matematicos do passado.
>
>	Eu sempre aprendi que essa prova foi feita pelo Euclides,
>e o site do Wolfram parece confirmar isso:
>
>	http://mathworld.wolfram.com/EuclidsTheorems.html
>
>--
>Ricardo Bittencourt

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