Re: [obm-l] Enrolado com cardinalidades

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Jan 10, 2004 at 12:51:46PM -0200, Andr� Martin Timpanaro wrote:
> Estou com uma d�vida quanto a prova da afirma��o abaixo:
> 
> -Dado um conjunto C, a cardinalidade do conjunto P de todos os subconjuntos 
> de C � sempre maior que a cardinalidade de C.
> 
> PROVA: Se C � um conjunto finito de cardinalidade n, ent�o P tem 
> cardinalidade 2^n. E 2^n>n para todo n>=0.
> 
> Suponha agora que C seja infinito, C tem a mesma cardinalidade que o 
> subconjunto de P que cont�m todos os subconjuntos unit�rios de C e portanto 
> a cardinalidade de C � menor ou igual a cardinalidade de P.
> 
> Suponha por absurdo que exista uma bije��o entre C e P. Seja M um conjunto 
> com a seguinte propriedade, se x � um elemento de C e a bije��o associa a x 
> um conjunto ao qual x n�o pertence, ent�o x pertence a M, do contr�rio, x 
> n�o pertence a M. Ent�o por essa defini��o, M � subconjunto de C e essa 
> bije��o deve associar um elemento y de C ao conjunto M.
> Mas suponha que y pertence a M. Ent�o, por defini��o, y n�o pertence a M 
> pois sen�o y estaria associado a um conjunto ao qual ele pertence e 
> pertenceria a M ao mesmo tempo. Mas se y n�o pertence a M, ele est� 
> associado com um conjunto ao qual ele n�o pertence e ao mesmo pertence a C, 
> logo por defini��o deve pertencer a M. Ent�o o fato de M ter algum elemento 
> associado a ele (qualquer elemento) � contradit�rio e logo M n�o est� 
> associado a nenhum elemento de C. Absurdo!
> 
> Logo as cardinalidades de C e P s�o diferentes e portanto a cardinalidade de 
> P � maior que a de C.
> CQD.
> 
> -A minha d�vida � a seguinte: Ele n�o deveria considerar a possibilidade de 
> que M pertencesse a P antes de come�ar a construir M?
> 
> Encontrei a prova no livro abaixo e ela era atribuida a Georg Cantor:
> "The Art of Infinity"

Como est� tudo certo, apenas voc� est� confuso, eu sugeriria reescrever
com um pouco mais de nota��o matem�tica.

Seja f: C -> P seja uma fun��o. Seja

R = { c em C | c n�o pertence a f(c) }

Assim, para x em C,

x em R <=> x n�o em f(x).

Suponha R = f(r): ter�amos

r em R <=> r n�o em R

o que � um absurdo. Assim R n�o est� na imagem de f
e portanto n�o existe nenhuma bije��o de C em P.

[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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