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Re: [obm-l] como provar isso?
Temos
k^5-k=k(k^4-1)=k(k^2-1)(k^2+1)=k(k-1)(k+1)(k^2+1)
30=2*3*5
Modulo 2, ou k ou k-1 e par
Modulo 3, ou k ou k+1 ou k-1 da certo
Modulo 5, e mais chato...
k^2+1=k^2+1-5=k^2-2^2=(k-2)(k+2) (MOD 5)
logo k^5-k=k(k-1)(k+1)(k-2)(k+2) (MOD 5)
E acabou!
Will <will@ism.com.br> wrote:
O que me lembra de um dos primeiros exercicios que resolvi no livro de
Teoria dos Numeros da Colecao Matematica Universitaria. Prove que N^5 - N é
divisível por 30 :-))
Will
----- Original Message -----
From: "Ricardo Bittencourt"
To:
Sent: Friday, December 19, 2003 12:52 AM
Subject: Re: [obm-l] como provar isso?
Robson Jr wrote:
> Provar que para qualquer número inteiro k, os números k e k^5 terminam
> sempre com o mesmo algarismo (algarismo das unidades).
Isso em base 10 né ?
Se você não souber o pequeno teorema de Fermat,
então dá pra demonstrar isso por indução finita. Se você
souber, então fica bem mais fácil!
k^5=k (mod 10) é igual às duas afirmações abaixo:
k^5=k (mod 2) e k^5=k (mod 5)
A parte com mod 2 é simples, se k for
ímpar,
então k^5 é ímpar também e o mesmo vale pra pares.
Pelo pequeno teorema de Fermat, k^(p-1)=1 (mod p)
sempre que p for primo. Mas 5 é primo, então:
k^(5-1)=1 (mod 5)
k^4=1 (mod 5) e portanto:
k^5=k (mod 5)
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Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk
ricbit@700km.com.br "tenki ga ii kara sanpo shimashou"
------ União contra o forward - crie suas proprias piadas ------
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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