[obm-l] Re: [obm-l] RE: Conjuntos não-enumerá veis vs. densos

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Dec 17, 2003 at 09:45:50AM -0200, Artur Coste Steiner wrote:
> Para este interessante problema, eu pensei um pouco mais, baseado na
> observacoa do pedro, e cheguei aa seguinte prova, para a qual peco a opiniao
> dos colegas.
> Seja P o conjunto dos pontos de condensacao de S (pontos tais que qualquer
> vizinhanca do mesmo intersecta S segundo um conjunto nao enumeravel). Como R
> eh um espaco metrico separavel, P nao eh enumeravel, sendo portanto
> infinito. Se x pertence a P, entao o interior de qualquer intervalo fechado
> de comprimento positivo que contenha x tem com S uma interseccao nao
> enumeravel, logo infinita. Se x<y pertencem a P, entao (x,y) contem
> infinitos (na realidade, incontaveis) elementos de P, logo de S. Isto prova
> que S contem um subconjunto denso no sentido da definicao apresentada pelo
> colega Domingos. Achao que este eh o ponto que faltava para fechar a prova.

Tenho lido as mensagens deste thread (como o Morgado diz isso
em lingua pátria?) mas não escrevi nada até agora pq estava
claro para mim que outras pessoas tinham mandado soluções
corretas (por exemplo, a do Pedro Antonio Santoro Salomao),
apesar de um pouco longas e pq eu também não sabia dar uma solução
mais curta.

Esta solução usando o conceito de ponto de condensação fica bem
mais curta, mas será que quem mandou a pergunta sabe o que é
um ponto de condensação e acompanha a frase "como R é separável,
P é não enumerável"? E de qq maneira não está exatamente correta,
você precisa tomar apenas os pontos de condensação bilaterais.
Senão, podemos ter P = S = [0,1] U [2,3]. Relembrando, x é um ponto
de condensação bilateral de S se a interseção de S com qualquer intervalo
da forma (x,x+eps) ou da forma (x-eps,x) é não enumerável.
O resultado (verdadeiro) que você precisa usar é o de que se S é
não enumerável e Q é o conjunto dos pontos de condensação bilineares
de S então a interseção T entre S e Q é não enumerável e denso
(no sentido do problema original: se x < y pertencem a T então
existe z em T, x < z < y).

Repensando, a minha recomendação de solução seria a seguinte.

Seja S um subconjunto não enumerável de R.
Considere todos os intervalos (a,b) tais que a e b são recionais
e a interseção se (a,b) com S é enumerável. Como só existe uma
quantidade enumerável de intervalos deste tipo a interseção da união
de todos eles com S ainda é enumerável. Seja S' a interseção de S
com K, o complemento da união destes intervalos. Claramente S'
é não enumerável e K é um conjunto perfeito (i.e., fechado sem
pontos isolados). Além disso, se um intervalo aberto I intersecta K
então a interseção de I com S' é não enumerável. O conjunto fechado K
tem um número finito ou infinito enumerável de extremos (i.e, extremos
de um dos intervalos abertos disjuntos que compõe o complemento de K):
jogue fora estes pontos de S' para obter S'': este é o conjunto não
enumerável denso pedido. De fato, se x < y estão em S'' então o intervalo
(x,y) intersecta K, donde intersecta S' em um conjunto não enumerável,
donde intersecta S'' em um conjunto não enumerável.



[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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