Re: [obm-l] demonstração

["marcelo oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

Esta questão é simplesmente maravilhosa, mas sua solução é muito grande, 
muito grande mesmo. Vou fazer um resumo da solução, tente demonstrar tudo 
que eu deixar indicado.

1) Prove, utilizando Pitágoras, que as distâncias entre os pontos de 
contatos das circunferências menores e do incírculo de ABC, sobre cada um 
dos lados do triângulo, são iguais a 2(r1.r)^1/2, 2(r2.r)^1/2 e 2(r3.r)^1/2.

2) Prove, utilizando semelhança de triângulos e os valores calculados em 1), 
que as distâncias dos pontos de contato do incírculo de ABC aos vértices de 
ABC, sobre cado lado, são iguais a:
p - a = [2(r1.r)^1/2]/[r - r1], p - b = [2(r2.r)^1/2]/[r - r2] e p - c = 
[2(r3.r)^1/2]/[r - r3]

3) Observe que o semi-perímetro de ABC é igual a soma dos valores de 2);

4) Utilize a expressão da área de ABC por Hieron da forma p^2r^2 = p(p - 
a)(p - b)(p - c) para determinar uma equação de segundo grau (gigantesca!!!) 
em r.
Uma das soluções é r = (r1.r2)^1/2 +  (r2.r3)^1/2  + (r3.r1)^1/2

Espero ter ajudado. Como disse anteriormente, a solução completa desta 
questão é imensa. Como curiosidade, esta questão (com valores numéricos para 
r1, r2 e r3) está na shortlist da IMO de 1984. Você pode conferir em 
http://www.kalva.demon.co.uk/short/sh84.html, questão 18.

Até mais,
Marcelo Rufino de Oliveira


>From: thais <thais@danceart.net>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] demonstração
>Date: Fri, 14 Nov 2003 16:32:25 -0600
>
>Não consigo resolver essa questão, se alguem puder me ajudar ...
>
>- Em um triângulo ABC, inscreve-se um círculo cujo raio é r. Entre esse 
>círculo e os lados do triângulo, inscrevem-se três outros círculos  cujos 
>raios são r1, r2 e r3. Demonstrar a relação:     (r1.r2)^1/2 +  (r2.r3)^1/2 
>  + (r3.r1)^1/2 = r
>
>*** (   )^1/2 = raiz quadrada
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