[obm-l] Infinito

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Nov 08, 2003 at 03:32:24AM -0200, Thiago Cerqueira wrote:
> o que, em verdade, é o infinito?

Outras pessoas já mandaram respostas boas mas acho que eu posso complementar.

Há muitos usos para a palavra infinito em matemática. Vou enumerar alguns.

Em teoria dos conjunto há conjuntos infinitos (um conjunto A é infinito
se existir uma função injetora mas não sobrejetora f: A -> A).
Há também dois tipos de números infinitos: cardinais infinitos
e ordinais infinitos. Dois conjuntos A e B tem o mesmo cardinal
se existir uma bijeção f: A -> B; Cantor provou que existem conjuntos
infinitos com cardinalidades diferentes, por exemplo N (o conjunto dos
naturais) e R (o conjunto dos reais) e usou isso para demonstrar a
existência de números transcendentes (que não satisfazem nenhuma
equação polinomial não trivial com coeficientes inteiros).
A definição de um número ordinal é um pouco mais complicada,
vou apenas dar uma idéia vaga: você começa a contar
0,1,2,3,4,...
e, chegando ao infinito, continua,
0,1,2,3,4,...,w,w+1,w+2,w+3,w+4,...,w2,w2+1,...,w3,...,w4,.......,w^2,...
Tudo isso está bem explicado no livro
Naïve Set Theory, de Halmos.

Em análise clássica o infinito aparece como uma palavra que não corresponde
a nada (a un número). Por exemplo, se escrevemos

lim_{n -> infinito} 1/n = 0

não estamos dizendo que existe um número chamado infinito e que 1/infinito = 0.
Não existe no conjunto dos números reais nenhum número chamado de infinito.
Mas isso não nos proíbe de acrescentarmos objetos novos a R.
Em análise complexa isto é muito comum e útil e o conjunto C U {infinito}
é conhecido como a esfera de Riemann.
Em geometria também é útil "inventar" pontos novos:
uma construção deste tipo é a geometria projetiva na qual acrescentamos
ao plano não um, mas infinitos pontos no infinito, aliás uma reta inteira
de pontos no infinito.

Outra teoria em que aparecem números infinitos é em análise não-standard,
um forma diferente de fazer análise onde as dificuldades com epsilons e
deltas são trocadas por dificuldades lógicas pois nem toda frase é permitida.
Ainda outro lugar onde números infinitos aparecem é na construção de Conway
dos números surreais.

Se a sua preocupação é de caráter lógico, talvez ela seja a de Hilbert:
se as demonstrações usando conjuntos infinitos não podem ser aritmetizadas
para falar apenas de inteiros. Como Gödel nos ensinou, a resposta é não:
a permissão para falar de conjuntos infinitos nos torna capazes de demonstrar
mais, mesmo se nos limitarmos a frases finitistas.
Ou, em um tom relacionado, talvez você esteja preocupado com a consistência
de falar de conjuntos infinitos: novamente Gödel nos ensina que é impossível
demonstrar a consistência dos raciocínios infinitários usando ferramentas
finitistas.

A conclusão é que o infinito aparece em matemática de tantas maneiras
diferentes que fica bem difícil responder a sua pergunta sem você
explicar melhor o que você espera.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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