[obm-l] =?iso-8859-15?Q?=C1lgebra_Linear?=

[Felipe Pina <pinaf@xxxxxxxxxxxx>]

    Ol� a todos,

    h� algum tempo foi proposto o seguinte problema :

    Seja V um espa�o vetorial de dimens�o n sobre um corpo K
    Seja X um subconjunto L.I. de V com n elementos
    Prove que X � uma base para V

    E algumas solu��es foram oferecidas. Eu gostaria de apresentar uma 
(pseudo)solu��o adicional que usa o seguinte teorema :

    Teorema
    -------
    Sejam V e W dois espa�os vetoriais sobre um mesmo corpo K
    Ent�o V e W s�o isomorfos <=> dimens�o(V) = dimens�o(W)

    Solu��o
    -------
    Seja E=[X] o espa�o vetorial gerado por X (sobre o corpo K).
    Como X � L.I. e X gera E, X � uma base para E.
    Ora, dimens�o(E) = cardinalidade(X) = n = dimens�o(V)
    Pelo Teorema acima, E � isomorfo a V.
    Mas sabemos que E < V (onde '<' significa 'contido').
    Ent�o temos um isomorfismo entre um subconjunto de V (a saber, E) e o 
pr�prio V.
    Gostaria de concluir que E = V mas n�o consigo...
    Bom, mas isto mostra, entre outras coisas, que a imagem de X pelo 
isomorfismo acima � uma base de V.
    Logo, a menos de isomorfismos, X � realmente uma base de V.

    Obs : De fato, E = V (igualdade de conjuntos), mas com esta trilha n�o 
consegui mostrar isto. Talvez algu�m possa me ajudar.

[]s
Felipe Pina
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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