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Falei besteira!
Por favor desconsiderem minha solução anterior para
o problema abaixo:
1) Qual é a soma dos algarismos do produto em que
os fatores são um número constituído por 45 algarismos iguais a 9 e o outro, um
número cosntituído por 45 algarismos iguais a 5?
A solução corrigida é a seguinte:
Ao invés de 45, vamos supor n 9's e n 5's. Seja
P(n) o produto desejado.
P(n) = (10^n - 1) * (5/9)*(10^n - 1) = (5/9)*(10^n
- 1)^2 = (5/9)*(10^(2n) - 2*10^n + 1)
n = 1 ==> P(1) = 9*5 = 45
n = 2 ==> P(2) = 99*55 = 5445
n = 3 ==> P(3) = 999*555 = 554445
n = 4 ==> P(4) = 9999*5555 =
55544445
A lei de formaçao parece clara:
Com n 9's e n 5's, o produto deve ser igual
a:
55...544...45, ou seja, (n-1) 5's, seguidos de n
4's e finalmente mais um 5.
Portanto, a soma deve ser: (n-1)*5 + n*4 + 5
= 9*n.
Agora, um pouco de álgebra deve provar que P(n) tem
esta forma para todo n:
P(n) = (5/9)*(10^(2n) - 2*10^n + 1) =
(5*10^(2n) - 10^(n+1) + 5)/9 =
(5*10^(2n) - 5*10^(n+1) + 4*10^(n+1) - 40 +
45)/9 =
5*((10^(n-1) - 1)/9)*10^(n+1) + 4*((10^n -
1)/9)*10 + 45/9 =
(55...55)*10^(n+1) + (44...44)*10 + 5
onde há n-1 algarismos 5 e n algarismos 4
==>
P(n) tem realmente a forma acima
==>
a soma dos algarismos de P(n) é 9*n
Em particular, para n = 45, a soma desejada é igual
a 405.
Um abraço,
Claudio.
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