RE: [obm-l] Valores de aderencia

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Claudio e Will, mais algumas algumas reflexoes (eufemismo para chute)
neste inicio de manha:

Eu acho que a sequencia tg(n) acaba acaindo num caso muito similar
aaquele que abordei ontem. Eh periodica, com periodo minimo irracional
PI; Eh continua em todo seu dominio, que eh o R exceto os pontos da
forma k*PI+PI/2, k inteiro.  Os argumentos que dei ontem creio que
provam que tg(n) eh densa em R. A tangente so nao eh definida em um
subconjunto numeravel de R, ou seja, eh definida e continua em quase
todo o R, pois con juntos numeraveis tem medida zero. Se nos pontos da
forma k*PI+PI/2 definissemos a tangente no que quer que fosse, teriamos
uma funcao definida em todo o R, descontinua nestes pontos e, para nosos
objetivos, nada se alteraria. Estah me parecendo que talvez seja
importante que a funcao seja continua em quase todo o R. (isto eh, so eh
descontinua - ou nao definida - em um subconjunto de medida nula) Aqui
nao posso ir muito longe, nao domino a teoria de medidas. (Eh um assunto
lindo, jah tentei avancar mas nunca acho tempo).

No exemplo que o Will deu, f(x) = cos(x), x irrac, f(x) =1 se x = rac.,
f gera exatamente a sequencia cos(n), densa em [-1,1]. Esta funcao que
ele deu soh nao eh continua em um conjunto numeravel, logo de medida
zero.   

O fato de f ser limitada nao eh mesmo relevante. Se,  entretanto, f for
continua e periodica em R, entao f eh automaticamente limitada e
uniformemente continua em R.

Abracos
Artur  


 
> Meus chutes...
> 
> (1) deve ser irrelevante e tg(x) talvez seja um bom exemplo disso
> (3) deve ser irrelevante, já que posso definir f(x) = cos(x) se x é
> racional
> e f(x)=1 se x é irracional me parece que os resultados ainda valem.
> (4)Acho que basta que ela seja uma sobrejeção em um subconjunto
enumerável
> denso num intervalo contendo o limite. E ainda deve ser necessário
que,
> dado
> um x arbitrariamente grande, exista a sobrejeção do intervalo
[x,infinito]
> no subconjunto da forma descrita acima.
> 
> Ok, fui tremendamente impreciso e chutei com toda força, mas não pude
> resistir :-)
> Aguardo as pedradas
> Will
> 
> ----- Original Message -----
> From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> To: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Thursday, September 18, 2003 7:52 PM
> Subject: [obm-l] Valores de aderencia
> 
> 
> Oi, pessoal:
> 
> Sabemos que x(n) = cos(n) tem subsequencias que convergem para
qualquer
> ponto no intervalo [-1,1].
> 
> Pergunta:
> O que eh que a funcao cosseno tem de especial para que isso aconteca,
ou
> seja, que propriedade(s) uma funcao real precisa ter para gerar
sequencias
> com subsequencias convergindo para qualquer ponto da imagem da funcao?
> 
> Sobre a funcao cosseno eu consigo pensar em 4 coisas:
> 1) Ela eh limitada;
> 2) Ela eh periodica de periodo irracional;
> 3) Ela eh continua;
> 4) Ela eh uma sobrejecao em [-1,1].
> 
> O meu chute eh que (1) e (3) sao irrelevantes, que (2) eh uma condicao
> suficiente mas nao necessaria, pois acho que y(n) = cos(n^2) tambem
tem
> subsequencias convergindo para qualquer ponto de [-1,1], e que (4) eh
uma
> condicao necessaria mas nao suficiente, pois f(x) = sen(pi*x) tambem
eh
> uma
> sobrejecao em [-1,1] mas z(n) = sen(pi*n) eh constante e igual a zero.
> 
> Como sempre, qualquer ajuda serah bem-vinda.
> 
> Um abraco,
> Claudio.
> 
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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