[obm-l] RE: [obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999 (reenviada)

[João Gilberto Ponciano Pereira <jopereira@xxxxxxxxxxxxx>]

Questão 1:
Um número natural de três algarismos é chamado de tricúbico se é igual a
soma dos cubos dos seus dígitos. Encontre todos os pares de números
consecutivos tais que ambos sejam tricúbicos.
100x + 10y + z = x3 + y3 + z3 
e
100x + 10y + (z+1) = x3 + y3 + (z+1)3
Subtraindo uma da outra e desenvolvendo, temos
z2 + z=0, logo z = 0 (não pode ser negativo)
 
Logo, x3 + y3 é divisível por 10. Analisando os cubos módulo 10 obtemos que
y = x-10
Logo,
100x + 10*(x-10) = x3 + (x-10)^3
x^2 - 13x + 30=0
x = 3 ou x = 10 (não vale)
 
logo, os únicos tricubicos consecutivos são 370 e 371

-----Original Message-----
From: Rodrigo Maranhão [mailto:rodrigomaranhao@terra.com.br]
Sent: Wednesday, September 10, 2003 8:30 PM
To: OBM - Lista
Subject: [obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999 (reenviada)



 

Estou reenviando o e-mail pq acho q o Server da lista não o encaminhou já q
estava com figura.

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Abaixo vão dois problemas da olimpíada de maio de 1999 que eu gostaria de
saber as respostas:

Obs: O problema 1 eu resolvi e achei apenas 1 par de tricúbicos
consecutivos: 370 e 371. No entanto gostaria de confirmar se a resposta é
essa.

 

Problema 1

Um número natural de três algarismos é chamado de tricúbico se é igual a
soma dos cubos dos seus dígitos. Encontre todos os pares de números
consecutivos tais que ambos sejam tricúbicos.

 

Problema 3

A primeira fileira da tabela abaixo se preenche com os números de 1 a 10, em
ordem crescente.

            [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

            [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

            [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

A segunda fileira se preenche com os números de 1 a 10, em qualquer ordem.

Em cada casa da terceira fileira se escreve a soma dos dois números escritos
nas casas acima.

Existe alguma maneira de preencher a segunda fileira de modo que os
algarismos das unidades dos números da terceira fileira sejam todos
distintos?

 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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