| De: | owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br |
| Para: | "OBM - Lista" |
| Cópia: |
| Data: | Wed, 10 Sep 2003 20:30:11 -0300 |
| Assunto: | [obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999 (reenviada) |
Problema 3
A primeira fileira da tabela abaixo se preenche com os números de 1 a 10, em ordem crescente.
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A segunda fileira se preenche com os números de 1 a 10, em qualquer ordem.
Em cada casa da terceira fileira se escreve a soma dos dois números escritos nas casas acima.
Existe alguma maneira de preencher a segunda fileira de modo que os algarismos das unidades dos números da terceira fileira sejam todos distintos?
Resposta: Não.
Seja S(k) = soma dos últimos algarismos da k-ésima linha (k = 1, 2, 3).
Então S(1) = S(2) = 1 + 2 + ... + 9 + 10 = 55.
Logo: S(1) = S(2) == 5 (mod 10)
Além disso, vale S(3) == S(1) + S(2) (mod 10) ==> S(3) == 0 (mod 10).
Mas, se os algarismos das unidades da 3a. linha forem todos distintos, então teremos também S(3) = 55 == 5 (mod 10) ==> contradicão.
Um abraco,
Claudio.