É fácil...
Faça T(n) = (2n)!*(n+1)/[ (n!)^2 * 4^n]. O que
vc quer provar é que T(n) > 1. Agora calcule T(n+1) em função de T(n)
:
T(n+1) = (2(n+1))!*(n+2)/[ ((n+1)!)^2 * 4^(n+1)] = (2n+1)(n+2) *
T(n)/2(n+1)^2. Agora veja que (2n+1)(n+2) > 2(n+1)^2, pois isso é
equivalente a 2n^2+5n+2>2n^2+4n+2, que é verdade pois n>0. Logo
T(n+1)>T(n). Como T(1)=1, a indução está
feita.
Villard