Re: [obm-l] Logaritmo Irracional

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

> Aproveito a oportunidade para acrescentar:
> (a)  Mostre que   cos (5 graus ) , cos(10 graus )  e cos (20 graus )  são
> irracionais.
> (b)  Podemos generalizar este fato de alguma forma?
>
> Abraços a todos.
> ( Ah  Cláudio, meu computador teve uma pane geral nesses últimos dias e
> creio não ter recebido a tal correção da enquete, proposta pelo mOrgado,
> você chegou a enviá-la? )

a lista também aparece na web: www.obm.org.br
se você perder uma mensagem ela provavelmente vai ser encontrada na web.

uma das possíveis maneiras de provar isso é:
cos(nx) = constante
onde x é o grau que você acredita ter a propriedade que cos x é irracional e
nx é algum ilustre conhecido, por exemplo:
cos(3*20) = cos60º = 1/2
chame x = 20
cos(3x) = 1/2
cos(x + 2x) = cosx*cos2x - senx*sen2x = cosx*[cos²x - sen²x] - senx[2senx
cosx]
agora expresse tudo em função de cosx (use o fato sen²x = 1 - cos²x).
a partir daí tome y = cosx e temos uma equação envolvendo um polinômio, o
grau desse polinômio é 3, se ele for irredutível (não continuei a conta para
ver qual polinômio vai dar, mas não custa nada tentar usar o critério de
Eisenstein e alguns outros) então o polinômio não tem raízes racionais, mas
como cos(20) é raiz então cos(20) não pode ser racional.

se o polinômio tivesse grau > 3 a coisa ficaria um pouco mais chata, isso
porque ele poderia ser redutível e não possuir raízes racionais, mas se você
mostrar que um polinômio qualquer de grau > 1 é irredutível (no corpo Q dos
racionais) então ele não pode ter uma raiz racional, pois se tivesse r em Q
raiz, então (y - r) dividiria o polinômio em Q[Y] e este não seria
irredutível.

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vamos ver o problema do Cláudio, temos N inteiro, N != 10^k para todo k
logN = r, suponha r em Q, r = a/b, b != 0 com mdc(a, b) = 1
10^(a/b) = [10^a]^(1/b) = N, inteiro
então N^b = 10^a...
se N != 10^k, então N = 2^u * 5^v * M, onde M não é divisível por 2 ou por 5
se M > 1, temos que existe um primo diferente de 2 e 5 na composição de N,
logo N^b != 10^a
se M = 1, então
N^b = (2^u * 5^v)^b = 2^(ub)*5^(uv) = 10^a
então ub = a = vb, mas então u = v => N = 2^u*5^u = 10^u
provamos então que r não pode ser racional.

[ ]'s

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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