[obm-l] Indu��o

["Eduardo F. Botelho" <matematika@xxxxxxxxxxxx>]

Ol� pessoal da lista!


Envio abaixo um problema que caiu na olimp�ada cearense. N�o estou 
encontrando uma explica��o satisfat�ria para ele...

TEOREMA: Para todo n, num conjunto de n bolas, todas elas
t�m a mesma cor.

COROL�RIO: Todas as bolas do mundo t�m a mesma cor.

Demostra��o:
A demonstra��o do teorema ser� feita usando o PIF. O resultado � v�lido 
para n=1 pois, num conjunto com uma bola, todas elas t�m a mesma cor. 
Suponha que o teorema seja v�lido para todo conjunto com i bolas. 
Considere um conjunto com i+1 bolas. Retirando uma delas, o conjunto 
restante possui i bolas e, pela hip�tese indutiva, todas possuem a mesma 
cor, digamos amarela. Retire uma das bolas amarelas desse conjunto e 
retorne  a bola de cor desconhecida anteriormente retirada. Obtemos 
novamente um conjunto com i bolas e que, pelo que foi discutido 
anteriormente, possui i-1 bolas amarelas. Pela hip�tese indutiva, possui 
todas as bolas da mesma cor.  Segue que a bola de cor desconhecida 
tamb�m � amarela. Assim, todas as i+1 bolas s�o amarelas.

Descubra o erro nesta demonstra��o.

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Acho que o erro est� em considerar a passagem P(i-1) => P(i) como 
hip�tese indutiva, e n�o como a pr�pria tese. Mas n�o estou t�o seguro 
disso...


Abra�o
Eduardo

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