[obm-l] Indução

["Eduardo F. Botelho" <matematika@xxxxxxxxxxxx>]

Olá pessoal da lista!


Envio abaixo um problema que caiu na olimpíada cearense. Não estou 
encontrando uma explicação satisfatória para ele...

TEOREMA: Para todo n, num conjunto de n bolas, todas elas
têm a mesma cor.

COROLÁRIO: Todas as bolas do mundo têm a mesma cor.

Demostração:
A demonstração do teorema será feita usando o PIF. O resultado é válido 
para n=1 pois, num conjunto com uma bola, todas elas têm a mesma cor. 
Suponha que o teorema seja válido para todo conjunto com i bolas. 
Considere um conjunto com i+1 bolas. Retirando uma delas, o conjunto 
restante possui i bolas e, pela hipótese indutiva, todas possuem a mesma 
cor, digamos amarela. Retire uma das bolas amarelas desse conjunto e 
retorne  a bola de cor desconhecida anteriormente retirada. Obtemos 
novamente um conjunto com i bolas e que, pelo que foi discutido 
anteriormente, possui i-1 bolas amarelas. Pela hipótese indutiva, possui 
todas as bolas da mesma cor.  Segue que a bola de cor desconhecida 
também é amarela. Assim, todas as i+1 bolas são amarelas.

Descubra o erro nesta demonstração.

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Acho que o erro está em considerar a passagem P(i-1) => P(i) como 
hipótese indutiva, e não como a própria tese. Mas não estou tão seguro 
disso...


Abraço
Eduardo

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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