[obm-l] Re: [obm-l] BELEZA MATEMATICA - Resultado da Enquete

[peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxxxx]

So algumas coisinhas:
1)O metodo probabilistico poderia ser incluido nao pelas aplicaçoes sofisticadas
mas pela ideia em si, que e bem simples.
se fossemos pensar assim nao incluiriamos o Teorema Fundamental da Algebra.
2)Cardinalidade de conjuntos e sobre conjuntos e nao analise.
3)Voce nao colocou a desigualdade de Erdös-Mordell na parte de geometria.Alias
tem muita coisa em geometria que nao foi contada...Por exemplo o caso n=3
do porisma de Steiner-Poncelet,e o escudinho da OBM,e o teorema de Feuerbach.
4)O Teorema dos Infinitos Primos da forma Nk+1 e razoavelmente facil, so
leva tempo pra entender.
5)Voce deveria esperar mais um pouco,so prpo pessoal enviar mais ideias...
6)Em Teoria dos Numeros,voce poderia incluir a demonstraçao de que 
2^(1/2) e irracional,como uma boa utilização do principio da boa ordenação.
"Nao e dificil perceber que 1<2^(1/2)<2
Construa o conjunto S={x natural t.q. x*2^(1/2) é natural}
=N inter N*2^(1/2).
Vamos demonstrar que este conjunto e vazio.
Se S nao for vazio, seja m o seu minimo.Vamos provar que 
(2^(1/2)-1)*m esta em S.
De fato,este cara e maior que zero, e ((2^(1/2)-1)*m)*2^(1/2)= 2*m-2^(1/2)*m,
que e natural.
Assim sendo, como m e minimo, 2^(1/2)-1>=1, que e obviamente falso.
E fim!
Para acabar, se 2^(1/2) fosse racional,existiria um natural t tal que 2^(1/2)*t
e inteiro. E demonstramos o contrario ndisso no paragrafo anterior.Logo,fim!"
 

-- Mensagem original --

>Caros colegas:
>
>Aqui está a compilação dos problemas e teoremas de nível compatível com
o
>2o. grau das nossas escolas que 9 participantes da lista acharam os mais
>bonitos e/ou surpreendentes. Noto aqui o meu agradecimento aos outros 8
pelo
>interesse em participar da enquete.
>
>Tanto quanto possível procurei ser imparcial. Entretanto, decidi excluir
>alguns resultados de análise, teoria dos números e combinatória por estar
>convencido de que seus níveis de abstração e sofisticação estão muito além
>do que seria razoável para um aluno normal de 2o. grau (você não estará
>muito enganado se interpretar isso como: "Eu (Claudio) tive dificuldade
pra
>entender estes resultados"!). Assim, não fazem parte da compilação:
>- o teorema dos números primos;
>- o teorema sobre a infinidade de primos da forma Nk + 1, onde N é um
>inteiro qualquer;
>- os teoremas de Heine-Borel, Cantor-Bendixson e alguns outros resultados
>de
>análise e topologia;
>- o belíssimo método probabilístico em análise combinatória, criado por
Paul
>Erdos, cujo princípio é bem intuitivo mas as aplicações são um pouco
>sofisticadas demais.
>Espero que essa atitude não me torne alvo de críticas muito severas.
>
>Assim, sem mais delongas, vamos à compilação:
> 
>
>
>TEORIA DOS NÚMEROS:
>
>1. Infinitude dos primos:
>i) O conjunto dos primos é infinito;
>ii) Se p(n) = n-ésimo primo, então a série:
>SOMA(n>=1) 1/p(n)  =  1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ...  é divergente.
>iii) Existe uma infinidade de primos de cada uma das formas a seguir: 4k+3,
>6k+5 e 4k+1.
>
>
>2. "Desertos" de primos:
>Dado um inteiro positivo qualquer N, existe um conjunto de N inteiros
>positivos consecutivos que não contem nenhum primo.
>
>
>3. O teorema de Bezout:
>Se a e b são dois inteiros quaisquer, então mdc(a,b) é o menor inteiro
>positivo que pode ser expresso na forma a*x + b*y, com x e y inteiros.
>Consequências:
>i) Se a e b são inteiros primos entre si e se a divide b*c (c inteiro),
>então a divide c;
>ii) Se p é primo, então cada inteiro primo com p tem um inverso (mod p)
-
>em
>outras palavras, se n é inteiro e primo com p, então existe um inteiro
k
>tal
>que n*k - 1 é múltiplo de p;
>iii) O pequeno teorema de Fermat: se p é um primo e n é um inteiro qualquer,
>então n^p - n é múltiplo de p;
>iv) O teorema de Wilson: p é primo se e somente se (p-1)! + 1 é múltiplo
>de
>p;
>
>
>4. Primos como somas de quadrados:
>i) Todo primo da forma 4k+1 pode ser expresso, de maneira única, como uma
>soma de dois quadrados de números inteiros.
>ii) Nenhum primo da forma 4k+3 pode ser expresso como uma soma de dois
>quadrados de números inteiros.
>
>
>5. Números perfeitos:
>Um inteiro positivo é chamado de perfeito quando é igual ao dobro da soma
>de
>seus divisores positivos (ou seja, ele é igual à soma dos divisores
>positivos menores do que ele mesmo). As duas partes do resultado a seguir
>foram descobertas por Euclides ( <== ) e Euler ( ==> ) com um intervalo
de
>cerca de 2000 anos:
>N é perfeito par  <==>  N = 2^(p-1)*(2^p - 1), onde 2^p - 1 é primo.
>(OBS: até hoje não se sabe se existe algum número perfeito ímpar)
>
>
>6. O caso n = 4 do Último Teorema de Fermat:
>A equação x^4 + y^4 = z^4 não admite solução em inteiros não nulos (repare
>que a condição 'não nulos' é crucial, pois claramente 1^4 + 0^4 = 1^4).
>
> 
>7. Postulado de Bertrand:
>Se x > 1, então existe (pelo menos) um primo entre x e 2x.
>
> 
>8. Se as medidas dos 3 lados e dos 3 ângulos (em graus) de um triângulo
são
>racionais, então o triângulo á equilátero.
>
>
>9. A fórmula para a soma das p-ésimas potências dos n primeiros números
>naturais em função dos números de Bernoulli:
>1^p + 2^p + 3^p + ... + n^p = ((n + B)^p - B^p)/(p+1), onde:
>(n + B)^k deve ser expandido da forma usual (binômio de Newton), mas B^k
>deve ser interpretado como B(k) = k-ésimo número de Bernoulli.
>Os números de Bernoulli são definidos pela recorrência:
>B(0) = 1  
>e  
>SOMA(0<=k<=n) Binom(n+1,k)*B(k) = 0
>
>
>10. O produto de Euler:
>Para s > 1, vale:
>SOMA(n>=1) 1/n^s  =  PRODUTO(p primo) 1/(1 - 1/p^s).
>Ou seja:
>SE 
>S = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + 1/5^s + 1/6^s + ...
>e 
>P = (1/(1 - 1/2^s))*(1/(1 - 1/3^s))*(1/(1 - 1/5^s))*(1/(1 - 1/7^s))*...
>ENTÃO 
>S = P.
>
>
>*****
>
>
>ANÁLISE:
>
>11. Álgebra de conjuntos:
>Se A, B e C são conjuntos quaisquer, então:
>i) A U (B inter C) = (A U B) inter (A U C)
>ii) A inter (B U C) = (A inter B) U (A inter C)
>Se X' é o complementar de X em relação a um conjunto universo dado, então
>valem as leis de De Morgan:
>iii) (A U B)' = A' inter B'
>iv) (A inter B)' = A' U B'
>
> 
>12. Cardinalidade de conjuntos infinitos:
>Dizemos que dois conjuntos X e Y têm a mesma cardinalidade (e escrevemos
>card(X) = card(Y)) quando existe uma bijeção entre eles. Se existe uma
>função injetiva de X em Y, mas nenhuma função sobrejetiva de X em Y, dizemos
>que card(X) < card(Y).
>
>Valem os seguintes teoremas sobre cardinalidade de conjuntos infinitos
(N
>=
>conjunto dos numeros naturais; Q = conjunto dos numeros racionais; R =
>conjunto dos numeros reais):
>i) card(N) = card(Q),
>ii) card(N) < card(R),
>iii) card(R) = card(R^2),
>iv) card(X) < card(Partes(X)), onde X é um conjunto qualquer,
>v) card(Partes(N)) = card(R),
>OBS: Um conjunto X é dito enumerável quando card(X) = card(N). Se card(N)
><
>card(X), entao dizemos que X e não-enumerável. Assim, Q é enumerável mas
>R
>não é.
>
>
>13. Intervalos em R:
>i) card([a,b]) = card([0,1]) para quaisquer a, b reais com a < b;
>ii) card(R) = card((0,1));
>iii) card((0,1)) = card([0,1]);
>iv) A intersecção de uma infinidade de intervalos abertos pode ser igual
>a
>um intervalo fechado;
>v) A união de uma infinidade de intervalos fechados pode ser igual a um
>intervalo aberto.
>vi) Qualquer intervalo aberto contém uma infinidade de números racionais
>e
>uma infinidade de números irracionais;
>
>
>14. C (conjunto dos números complexos) não pode ser ordenado:
>Um conjunto numérico A (tecnicamente um "corpo") é dito ORDENADO quando
ele
>possui um subconjunto A+ de elementos ditos "positivos" tais que:
>i) Se x é um elemento de A, então exatamente uma das alternativas seguintes
>ocorre: x pertence a A+, x = 0 ou -x pertence a A+;
>ii) Se x e y pertencem a A+, então x+y e x*y pertencem a A+.
>Com esta definição, C não pode ser ordenado (ou seja, C não possui nenhum
>subconjunto C+ que obedeça a (i) e (ii) acima).
>
>
>15. A equação x^2 = 2^x tem 3 soluções reais.
>
>
>16. Um número irracional elevado a um expoente irracional pode resultar
num
>número racional;
>
>
>17. A série harmônica:
>A série SOMA(n>=1) 1/n  =  1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...  é divergente.
>
>
>18. Teorema do Valor Intermediário:
>Seja F uma função real contínua em algum intervalo fechado [a,b] (a < b)
>tal
>que F(a) < 0 e F(b) > 0. Então, existe um número real c tal que a < c <
b
>e
>F(c) = 0.
>
>
>19. Teorema Fundamental da Álgebra:
>Todo polinômio não constante de coeficientes complexos possui (polo menos)
>uma raiz complexa.
>
>
>*****
>
>ÁLGEBRA:
>
>20. Completando quadrados:
>Dado um trinômio do 2o. grau: y = ax^2 + bx + c, com a > 0, tem-se que:
>i) y = 0 para x = (-b - raiz(b^2-4ac))/(2a) e x = (-b + raiz(b^2-4ac))/(2a);
>ii) y é mínimo e igual a  c - b^2/(4a)  para x = -b/(2a).
>
>
>21. O método de eliminação Gaussiana para resolução de sistemas de equações
>lineares (adeus, regra de Cramer!);
>
>
>22. Posto-linha = Posto-coluna:
>Seja A uma matriz qualquer (não necessariamente quadrada) de coeficientes
>reais. Então, o número máximo de linhas linearmente independentes de A
é
>igual ao número máximo de colunas linearmente independentes de A.
>
>
>23. Desigualdade MG <= MA:
>Sejam a(1), a(2), ..., a(n) números reais positivos. Então:
>(a(1)*a(2)*...*a(n))^(1/n) <= (a(1)+a(2)+...+a(n))/n, onde a igualdade
vale
>se e somente se a(1) = a(2) = ... = a(n).
>
>
>24. A desigualdade do rearranjo:
>Sejam a(1), a(2), ..., a(n) e b(1), b(2), ..., b(n) duas sequências
>não-decrescentes de números reais. Seja c(1), c(2), ..., c(n) uma permutação
>qualquer dos b(i). Então:
>a(1)*c(1)+a(2)*c(2)+...+a(n)*c(n) <= a(1)*b(1)+a(2)*b(2)+...+a(n)*b(n)
>e
>a(1)*b(n)+a(2)*b(n-1)+...+a(n)*b(1) <= a(1)*c(1)+a(2)*c(2)+...+a(n)*c(n).
> 
>
>25. Progressões Geométricas e Fibonacci:
>Existe uma única progressão geométrica de termos positivos (a(i)) que
>obedece à equação de recorrência de Fibonacci a(n) = a(n-1) + a(n-2).
>
>
>*****
>
>
>ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE:
>
>26. A relação de Stifel (ou Stifel-Pascal) e suas consequências algébricas
>e
>interpretação combinatória:
>Se n e p são inteiros positivos então:
>Binom(n,p) = Binom(n-1,p) + Binom(n-1,p-1)
>
>
>27. O princípio das Casas de Pombos:
>Se mais do que n objetos são distribuídos por n caixas, então deve haver
>pelo menos uma caixa com pelo menos 2 objetos.
>Consequências:
>i) Em todo grupo de 6 pessoas, existem 3 que se conhecem mutuamente ou
3
>que
>se desconhecem mutuamente;
>ii) Se um paciente tem que tomar 48 pílulas em 30 dias, sendo que ele toma
>pelo menos uma pílula por dia, então existe uma sequência de dias
>consecutivos nos quais ele toma exatamente 11 pílulas;
>iii) Toda sequência de m*n+1 números reais distintos possui uma subsequência
>crescente de n+1 termos ou uma subsequência decrescente de m+1 termos;
>iv) Toda sequência de números reais possui uma subsequência monótona;
>v) Se a é irracional, então o conjunto A = {m + n*a; m, n inteiros} é denso
>em R (ou seja, qualquer intervalo aberto, por menor que seja, contém algum
>elemento de A - de fato, contém uma infinidade de elementos de A);
>vi) Dada uma sequência qualquer de algarismos, existe uma potência de 2
cuja
>representação decimal começa com aquela sequência.
> 
>
>28. O problema do jogo interrompido:
>Dois jogadores, A e B, lançam sucessivamente uma moeda (ou seja, um simples
>"cara ou coroa"). A moeda não é necessariamente honesta, de forma que as
>probabilidades de A e B vencerem cada rodada são iguais a "p" e "q",
>respectivamente, com p + q = 1. A vitória em cada rodada vale 1 ponto para
>o
>vencedor e 0 para o perdedor. Aquele que primeiro acumular "n" pontos vence
>o jogo e recebe um prêmio de R$ 100. No momento em que A acumula "a" pontos
>e B acumula "b" pontos (0 <= a < n e 0 <= b < n) eles são forçados a
>interromper o jogo. De que forma A e B devem dividir os R$ 100?
>
>
>******
>
>
>GEOMETRIA:
>
>29. Teorema de Pitágoras e seu recíproco:
>Sejam a, b, c (a >= b >= c) as medidas dos lados de um triângulo.
>O triângulo é retângulo se e somente se a^2 = b^2 + c^2.
>
>
>30. Pontos notáveis num triângulo:
>As medianas de um triângulo concorrem num mesmo ponto (o baricentro ou
>centróide do triângulo);
>As mediatrizes dos lados concorrem num mesmo ponto (o circuncentro - centro
>do círculo circunscrito);
>As bissetrizes internas concorrem num mesmo ponto (o incentro - centro
do
>círculo inscrito);
>As alturas concorrem num mesmo ponto (o ortocentro).
>
>
>31. A reta de Euler:
>Em qualquer triângulo, o circuncentro (C), o baricentro (B) e o ortocentro
>(O) são colineares e tais que m(OB) = 2*m(BC).
>
>
>32. O círculo dos 9 pontos:
>Em qualquer triângulo, os pontos médios dos 3 lados, os pés das 3 alturas
>e
>os pontos médios dos 3 segmentos que ligam cada vértice ao ortocentro
>pertencem a uma mesma circunferência.
>
>
>33. O triângulo órtico:
>O triângulo cujos vértices são os pés das alturas de um triângulo ABC dado
>é
>chamado de triângulo órtico de ABC. Ele tem as seguintes propriedades:
>i) As alturas de ABC são bissetrizes internas do triângulo órtico;
>ii) Dentre todos os triângulos inscritos em ABC (isto é, com um vértice
>contido em cada lado de ABC), o triângulo órtico é aquele de menor
>perímetro.
>
>
>34. Teorema de Ceva:
>Num triângulo ABC, sejam as cevianas AX, BY e CZ (X em BC, Y em AC e Z
em
>AB). Estas cevianas concorrem num mesmo ponto se e somente se:
>(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA) = 1.
> 
>
>35. Heron e Brahmagupta:
>i) Área de um triângulo cujos lados tem medidas a, b, c:
>Área = raiz(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) ,  onde p = semi-perímetro = (a+b+c)/2;
>ii) Área de um quadrilátero inscritível cujos lados medem a, b, c, d:
>Área = raiz((p-a)*(p-b)*(p-c)*(p-d)) ,  onde p = (a+b+c+d)/2.
>
>
>36. A desigualdade isoperimétrica:
>Entre todas as curvas fechadas de igual perímetro, a circunferência é a
que
>engloba a maior área.
> 
>
>37. A desigualdade Eduardo Wagner:
>Em qualquer triângulo, o semi-perímetro nunca é menor do que a soma dos
>produtos de cada lado com o cosseno do ângulo oposto. Ou seja:
>p >= a*cos(A) + b*cos(B) + c*cos(C).
>
>
>38. Os 5 poliedros regulares:
>Existem 5 poliedros regulares (aqueles cujas faces sao poligonos regulares
>congruentes) - tetraedro, cubo, octaedro, dodocaedro e icosaedro. Ademais,
>estes são os únicos poliedros regulares.
> 
>
>39. Seções cônicas e o teorema de Dandelin:
>A intersecção de um cone com um plano que não passa pelo seu vértice resulta
>em uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole, dependendo de se o ângulo
>entre a normal ao plano e o eixo do cone for menor, igual ou maior do que
>o
>ângulo entre a geratriz e o eixo do cone.
>
>No caso de uma elipse, existirão duas esferas que tangenciam o plano e
estão
>inscritas no cone (ou seja, a intersecção delas com o cone será uma
>circunferência) - uma delas situada entre o plano e o vértice do cone e
a
>outra no semi-espaço oposto determinado pelo plano. Nesse caso:
>i) Os pontos de tangência das esferas com o plano são precisamente os focos
>da elipse;
>ii) As diretrizes da elipse são as retas onde o plano intersecta os planos
>que contém as circunferências onde as esferas tangenciam o cone.
>
>No caso de uma parábola, existirá uma única esfera tangente ao plano e
>inscrita no cone, situada entre o plano e o vértice do cone. Nesse caso:
>i) O ponto de tangência da esfera com o plano será o foco da parábola;
>ii) A diretriz da parábola será a reta onde o plano intersecta o plano
que
>contém a circunferência onde a esfera tangencia o cone.
>
>No caso de uma hipérbole, existirá em cada folha do cone uma esfera tangente
>ao plano e inscrita no cone, ambas situadas no semi-espaço que contém o
>vértice do cone. Nesse caso:
>i) Os pontos de tangência das esferas com o plano são precisamente os focos
>da hipérbole;
>ii) As diretrizes da hipérbole são as retas onde o plano intersecta os
>planos que contém as circunferências onde as esferas tangenciam o cone.
>
>
>40. A formula de Euler para poliedros convexos:
>Num poliedro convexo qualquer com F faces, A arestas e V vértices, vale
a
>relação: V - A + F = 2.
>
>
>41. Geometria Projetiva:
>i)Teorema de Desargues:
>Dados os triângulos ABC e A'B'C', sejam os pontos:
>P = AB inter A'B'; Q = AC inter A'C'; R = BC inter B'C'. Então:
>AA', BB' e CC' concorrem num mesmo ponto se e somente se P, Q e R forem
>colineares.
>
>ii)Teorema de Pappus:
>Dadas 2 retas quaisquer - r e s, e 3 pontos quaisquer sobre cada uma -
A,
>B,
>C sobre r (B entre A e C) e X, Y, Z sobre s (Y entre X e Z), os pontos:
>P = AY inter BX; Q = AZ inter CX; R = BZ inter CY são colineares.
>
>iii)Teorema de Pascal:
>Se um hexágono ABCDEF (não necessariamente convexo) está inscrito numa
>cônica, então os pontos P = AB inter DE, Q = BC inter EF e R = CD inter
FA,
>de intersecção de cada par de lados opostos, são colineares.
>
>iv) Teorema de Brianchon:
>Se um hexágono ABCDEF está circunscrito a uma cônica (de forma que cada
um
>dos 6 lados a tangenciem), então as diagonais principais AD, BE e CF desse
>hexágono concorrem num mesmo ponto.
>
>
>*********
>
>
>REFERÊNCIAS:
>
>De forma geral, as melhores referências são as Eurekas e a própria lista
>obm-l, onde vários dos resultados acima já foram demonstrados.
>
>Além delas, o site:
>http://www.cut-the-knot.org/
>possui muito material complementar interessante (em especial, uma lista
>fantástica de problemas - com soluções - sobre o PCP).
>
>O Nicolau e o Gugu escreveram um artigo excelente sobre a desigualdade
>isoperimétrica, o qual pode ser encontrado nas páginas pessoais de ambos.
>
>Outras referências são os livros:
>AS PROVAS ESTÃO NO LIVRO
>Martin Aigner / Gunter M. Ziegler
>Editora Edgard Blucher
>
>O QUE É A MATEMÁTICA
>Richard Courant / Herbert Robbins
>Editora Ciência Moderna
>
>ANÁLISE REAL - volume 1
>Elon Lages Lima
>Coleção Matemática Universitária - IMPA
>
>ÁLGEBRA LINEAR
>Elon Lages Lima
>Coleção Matemática Universitária - IMPA
>
>100 GREAT PROBLEMS OF ELEMENTARY MATHEMATICS
>Heinrich Dorrie
>Editora Dover
>
>THE ENJOYMENT OF MATHEMATICS
>Hans Rademacher / Otto Toeplitz
>Editora Dover
>
>GEOMETRY REVISITED
>H.S.M.Coxeter / S.L.Greitzer
>Editado pela Mathematical Association of America (MAA)
>
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=========================================================================
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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