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XVII olimpíada capixaba de matemática
Nível 3
2. Mostre que o número
111...111 formado por oitenta e um 1's é múltiplo de 81.
3. Um grilo dá saltos
numa linha reta. Seu primeiro salto mede 1cm, o segundo 2 cm, e assim por
diante. Em cada instante ele salta 1 cm a mais. cada salto é feito para frente
ou para trás. É possível que depois de 2003 saltos esteja a 1 cm da posição que
estava inicialmente?
4. Numa folha de papel
estão escritas 58 dezenas de azul ou de vermelho. O número de maneiras distintas
de se escolher três dezenas azuis é igual ao número de maneiras distintas de se
escolher duas dezenas vermelhas e uma azul. Quantas dezenas azuis estão escritas
no papel?
5. Sete inteiros positivos são escolhidos
no conjunto { 1, 2, 3, ..., 126}. Mostre que, de qualquer maneira que se
faça a escolha, dentre os sete escolhidos existem dois inteiros x e y , tais que
x<y<=2x. O número 126 pode ser substituído por um inteiro maior?
6.depois eu passo pois possui uma
figura,
7. As projeções ortogonais de um sólido sobre
dois planos não paralelos são círculos. Mostre que os dois círculos t6em o mesmo
raio.
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