Boa tarde.
Dando prosseguimento aa ideia do Claudio, vou apresentar uma das provas de um teorema que acho muito bonito, qual seja: Todo subconjunto aberto de R pode ser representado, de forma única, pela união de uma coleção numerável de intervalos abertos disjuntos dois a dois. Nesta demonstração, utilizaremos o conhecido fato de que a união de uma coleção de intervalos abertos que contenham um elemento comum eh, por sua vez, um intervalo aberto.
Seja então A um subconjunto aberto de R. Para cada x de A, definamos Jx como a coleção de todos os intervalos abertos que contem x e estão contidos em A (como A eh aberto, esta coleção não eh vazia). Seja j_x a uniao de todos os intervalos de Jx. Temos então que j_x eh um intervalo, contem x e esta contido em A. Logo j_x eh, com relação aa inclusão, o maior intervalo de Jx. Vamos agora mostrar que, se x e y pertencem a A, então j_x e j_y são idênticos ou disjuntos. De fato, se j_x e j_y contiverem um elemento comum, então j_x U j_y eh um intervalo aberto que contem x e estah contido em A. Logo, j_x U j_y eh um membro de J_x e, conseqüentemente, estah contido em j_x. Para que isto possa ser verdade, temos necessariamente que j_y estah contido em j_x. De modo similar, concluímos que j_x estah contido em j_y e que, portanto, j_x = j_y.
Definamos agora J como a colecao J = {j_x, x em A}. Pelo que vimos, os membros de J são intervalos abertos disjuntos dois a dois. Como cada j_x esta contido em A, a uniao dos intervalos de J estah contida em A.. E como todo x de A pertence a j_x, segue-se que J cobre A. Logo A = Uniao (j_x) o que completa a primeira parte da demonstração.
Para vermos que J eh uma colecao numerável, em cada j_x escolhamos um racional r_x.. Dado que os j_x são disjuntos dois a dois, cada r_x pertence a um, e apenas um, membro de J, existindo assim uma bijeção entre o conjunto {r_x} e a colecao J. Como {r_x} eh um subconjunto dos racionais, o qual eh numerável, segue-se que {r_x} também o eh. Logo, J eh numerável, o que completa a segunda parte da demosntracao.
Embora isto não seja fundamental, acho interessante comentar que a escolha dos r_x pode ser feita sem recorrermos ao Axioma da Escolha. Existe, provadamente, uma enumeracao {q_1, q_2,.....q_n....} dos racionais, como aquela resultante da clássica prova da “diagonal”. Tomando-se tal enumeracoa, podemos, para cada j_x , definir r_x como o racional q_n associado ao primeiro n tal que q_n pertenca a j_x. Desta forma, a escolha dos r_x nao eh arbitraria, mas construtiva, o que dispensa recorrer ao Axioma da Escolha.