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Re: [obm-l] EsaEx - Quero Passar !



Title: Re: [obm-l] EsaEx - Quero Passar !
on 15.08.03 01:07, João at flavors9@bol.com.br wrote:

Só as curtas agora!

1) Mostre que a soma de todas as raízes da eq. Z^n - 1 = 0, no conjunto dos complexos é zero!

Sejam w1, w2, ...., wn as raizes. Imagino que voce saiba que o polinomio z^n - 1 possa ser fatorado como: z^n - 1 = (z - w1)(z - w2)...(z - wn).

Nesse caso, nao eh muito dificil ver que o coeficiente de z^(n-1) eh igual a:
-(w1 + w2 + ... + wn).

Mas, o coeficicente de z^(n-1) no polinomio z^n - 1 'e igual a zero. Logo...

*****

2) A tg do ângulo que a reta normal à curva Ax + By + Cx^2 + Dxy + Ey^2 + Fx^3 = na origem, forma com o eixo 0x é?

Derivando implicitamente, obtemos:
A + By' + 2Cx + Dy + Dxy' + 2Eyy' + 3Fx^2 = 0 ==>
(B + Dx + 2Ey)y' = -(A + 2Cx + Dy + 3Fx^2).

Mas o coeficiente angular da normal eh igual a -1/y' ==>

-1/y' = (B + Dx + 2Ey)/(A + 2Cx + Dy + 3Fx^2)

Tomando o valor dessa expressao na origem (0,0), teremos:

(-1/y') = tangente desejada = B/A

*****

3) Prove que a função algébrica equivalente a 2 arctgx + arctgy = (PI)/4 é (x^2 + 2x - 1) / (x^2 - 2x - 1)

Inicialmente, vamos calcular o valor de tg(2arctg(x)) =
2tg(arctg(x))/(1 - tg(arctg(x))^2) = 2x/(1 - x^2)

arctg(y) = pi/4 - 2arctg(x) ==>
y = tg(pi/4 - 2arctg(x)) = (tg(pi/4) - tg(2arctg(x))/(1 + tg(pi/4)*tg(2*arctg(x))) =
= (1 -  2x/(1 - x^2))/(1 + 1*2x/(1 - x^2)) =
= (1 - x^2 - 2x)/(1 - x^2 + 2x) =
= (x^2 + 2x - 1)/(x^2 - 2x - 1)

******

4) As equações das assíntotas da função y = cotgh(x) são as retas...

y = cotgh(x) = cosh(x)/sinh(x)  = (e^x + e^(-x))/(e^x - e^(-x)) =
= (e^(2x) + 1)/(e^(2x) - 1) = 1 + 2/(e^(2x) - 1).

Para determinar as assintotas, temos que verificar o comportamento de y quando x tende a + e - infinito, e quando o denominador tende a zero (o que ocorre quando x tende a zero)

Quando x --> +infinito, y --> 1 ==> y = 1 eh assintota
Quando x --> -infinito, y --> -1 ==> y = -1 eh assintota
Quando x --> 0+, y --> +infinito  
Quando x --> 0-, y --> -infinito  ==> x = 0 eh assintota

******

5) A eq. polar do círculo que passa por P( sqrt3, 75graus ) e tem centro nas retas (teta = 45graus) e (Rô sen teta - sqrt8) é:

O mais seguro eh trabalhar com coordenadas cartesianas:

cos(75) = cos(45+30) = cos(45)cos(30) - sen(45)sen(30) = (raiz(6) - raiz(2))/4
sen(75) = (raiz(6) + raiz(2))/4

Logo, P = ( raiz(3)*cos(75) , raiz(3)*sen(75) ) ==>
P = ( (3*raiz(2) - raiz(6))/4 , (3*raiz(2) + raiz(6))/4 )

Reta 1: y = x

Reta 2: y = 2*raiz(2)
(supondo que a equacao seja R*sen(teta) = sqrt(8) (o sinal eh de igualdade))

Interseccao das retas: C = ( 2*raiz(2) , 2*raiz(2) )

Raio^2 = (Distancia de P a C)^2 =
((5*raiz(2) + raiz(6))/4)^2 + ((5*raiz(2) - raiz(6))/4)^2 = 10*raiz(3)

Equacao cartesiana da circunferencia:
(x - 2*raiz(2))^2 + (y - 2*raiz(2))^2 = 10*raiz(3)

x^2 + y^2 - 4*raiz(2)*(x + y) + 16 - 10*raiz(3) = 0

Equacao polar:
Ro^2 - 4*raiz(2)*Ro*(cos(teta) + sen(teta)) + 16 - 10*raiz(3) = 0 ==>

Ro^2 - 8*Ro*sen(teta + Pi/4) + 16 - 10*raiz(3) = 0.

 
*****

6) Como demonstrar a relação de Euler, sendo (i = sqrt -1)  ?

Imagino que a relacao e Euler seja e^(i*pi) = -1.

Definicao de Exponencial Complexa ==> e^(i*x) = cos(x) + i*sen(x).

Fazendo x = Pi ==> e^(i*pi) = cos(pi) + i*sen(pi) = -1 + i*0 = -1.

******

7) A reta y = ax + b é perpendicular à reta tg ao gráfico da curva y = 1/(sqrt(x^2 +1) no ponto de abscissa x = 1. Nestas condições, a + b = ?

y = (x^2 + 1)^(-1/2) ==>
y' = 2x*(-1/2)*(1+x^2)^(-3/2). ==>
-1/y' = (1 + x^2)^(3/2)/x = tg da normal

x = 1 ==> tg da normal = raiz(2) ==> y = raiz(2)*x + b  (a = raiz(2))

x = 1 ==> y = 1/raiz(2) = raiz(2)/2 ==>
raiz(2)/2 = raiz(2)*1 + b ==>
b = - raiz(2)/2 ==>

a + b = raiz(2)/2.


******

8) ESSA É BRABÍSSIMA!! De quantas maneiras diferentes se pode colocar 3 anéis em 5 dedos?

Existem 3 possibilidades mutuamente exclusivas:
1) 3 aneis num mesmo dedo: 5*3! = 5*6 = 30
2) 2 aneis num dedo e 1 num outro: 5*C(3,2)*2!*4 = 5*3*2*4 = 120
3) 1 anel em cada dedo: 5*4*3 = 60

Total = 30 + 120 + 60 = 210 maneiras.

*****

9) Sejam X,Y,Z matrizes de 3a. ordem em que XY = Z^(-1) e Y = 3X. Se Det (Z) = 12, qual o valor de Det (X)?

X*(3X) = Z^(-1) ==>
3*X^2 = Z^(-1) ==>
det(3*X^2) = det(Z^(-1)) ==>
3^3 * det(X)^2 = 1/12 ==>
det(X)^2 = 1/324 ==>
det(X) = 1/18  ou  det(X) = -1/18

*****

10) Considere os lugares geométricos do plano cartesiano definido pelas equações: E1: (x - y)^2 + x(1 + 2y) <= 7/8 e    E2: x - y + m = 0
    Determine, caso existam, o valor de m e as cordenadas do ponto P(x,y), de modo que P(x,y) seja a única solução para E1 INTERSEÇÂO E2

x - y = -m <==> x = y - m

m^2 + (y - m)*(1 + 2y) <= 7/8 ==>

2y^2 + (1 - 2m)y + m^2 - m - 7/8 <= 0
e essa desigualdade eh satisfeita para um unico valor de y
(ou seja, a reta tangencia a elipse) ==>

2y^2 + (1 - 2m)y + m^2 - m - 7/8 = 0 tem uma raiz dupla ==>

Delta = (1 - 2m)^2 - 4*2*(m^2 - m - 7/8) = 0 ==>
1 - 4m + 4m^2 - 8m^2 + 8m + 7 = 0 ==>
-4m^2 + 4m + 8 = 0 ==>
m^2 - m - 2 = 0 ==>
m = 2  ou  m = -1.

m = 2 ==> 2y^2 - 3y + 9/8 = 0 ==> y = 3/4 ==> x = -5/4 ==> P = (-5/4,3/4)

m = -1 ==> 2y^2 + 3y + 9/8 = 0 ==> y = -3/4 ==> x = 1/4 ==> P = (1/4,-3/4)


*****

Boa sorte no seu exame.

Um abraco,
Claudio.




----- Original Message -----
From: J Augusto Tavares <mailto:frolstty@ig.com.br>  
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, August 14, 2003 7:40 AM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] OUTRAS Questões Esaex

numerador--[(y^3 - 1) + (y^4 -1) + (y^6 - 1)]

denominador--(y^6 - 1)

vou fatorar ....

(y^3 - 1) <=> (y -1)(y^2 + y + 1)

(y^4 -1) <=> (y -1)(y^3 +y^2 + y + 1)

(y^6 - 1) <=>(y^3 + 1)(y^3 -1)<=>(y^3+1)(y -1)(y^2 + y + 1)

agora:

numerador( vou colar (y-1) em evidencia):  (y-1)[(y^2 + y + 1) + (y^3 +y^2 + y + 1) + (y^3+1)(y^2 + y + 1)]

denominador: (y^3+1)(y -1)(y^2 + y + 1),

eliminando y-1 de ambos e substituindo y por 1,

numerador: 13, denominador:6, ou seja, 13/6 esse limite!

se eu nao errei nada, eh claro! eheheh

                                                                 Abracao

                                                                             Guto.

obs.: eu so nao tinha efetuado as contas, mas daria um resultado sim ...!








Resposta:

   Fazendo  (x+1) = y^12 , como x->0  ,   y->1.

(y^3 + y^4 + y^6 - 3)/(y^6 - 1) ,  [(y^3 - 1) + (y^4 -1) + (y^6 - 1)]/[(y^3 + 1)(y^3 -1)]

eleminando o fator (y-1), nao existira mais  a indeterminacao !


Esta fatoração vai te levar novamente a (y^2 + 1)(y + 1)(y - 1) / (y + 1)(y2 -y + 1)(y - 1)(y^2 + y + 1)
Faremos um bocado de conta e o resultado não bate!!!!