Re: [obm-l] Número de soluções de sistema linear - Correção

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Número de soluções de sistema linear - Correção

A partir da expressao  fatorada eu acho que nao dah. Voce teria que multiplicar os 5 polinomios abaixo (a(x), b(x), etc...), o que relamente daria um trabalhao. Porisso eu usei o software.

Agora, esse problema caiu em algum vestibular? Se caiu, acho uma tremenda idiotice por parte da banca, pois uma vez achados os polinomios (o que eh facil, quando voce conhece o metodo) o problema vira 100% mecanico - apropriado para um computador.

Esta eh a beleza deste metodo de resolucao, o qual transforma um problema de combinatoria num problema mecanico de multiplicar polinomios.

Tente fazer este aqui no braco (muito menos trabalhoso):

"Achar o numero de solucoes inteiras nao negativas de de 3x + 2y + z = 10."

Depois compare a dificuldade do metodo dos polinomios formais com a da enumeracao pura e simples das solucoes (fazendo primeiro x = 0 e contando as solucoes de 2y + z = 10; depois x = 1 e contando as solucoes de 2y + z = 7; etc...)

Um abraco,
Claudio.

on 09.08.03 06:00, Alexandre Daibert at alexandredaibert2@ig.com.br wrote:

> Tive uma dúvida nessa resolução. Depois de tudo feito, faltando calcular o coeficiente de x. supondo para um problema menor, como calcularíamos o coeficiente de x no grau 23 braço na expressão fatorada do tipo (1+x^16)*(x^24-1)^4/((x^8-1)*(x^4-1)*(x^2-1)*(x-1))
>
> é q não podemos desmembrá-la, pois voltaríamos ao problema inicial.
> obs: desculpe minha ignorância, mas sou um mero pobre, ignorante e humilde vestibulando...
>  :-P 
>
>
> Claudio Buffara escreveu:
> > on 07.08.03 01:38, Alexandre Daibert at alexandredaibert2@ig.com.br wrote:
> >
> > ...
> >   
> > > O problema é determinar o número de soluções
> > > inteiras não negativas do sistema:
> > > 16a + 8b + 4c + 2d + e = 23
> > >     
> > ...
> >
> > Oi, Alexandre:
> >
> > A solucao classica pra esse tipo de problema eh via series formais (vide
> > artigo do Eduardo Tengan na Eureka 11).
> >
> > No caso, nem precisamos usar series infinitas, mas apenas polinomios.
> > Precisamente, voce estah interessado no coeficiente de x^23 do polinomio
> > formal:
> >
> > f(x) = a(x)*b(x)*c(x)*d(x)*e(x), onde:
> >
> > a(x) = 1 + x^16
> > b(x) = 1 + x^8 + x^16 = (x^24-1)/(x^8-1)
> > c(x) = 1 + x^4 + x^8 + x^12 + x^16 + x^20 = (x^24-1)/(x^4-1)
> > d(x) = 1 + x^2 + x^4 + x^6 + ... + x^20 + x^22 = (x^24-1)/(x^2-1)
> > e(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^21 + x^22 + x^23 = (x^24-1)/(x-1)
> >
> > Voce consegue ver o porque disso?
> >
> > Logo:
> > f(x) = (1+x^16)*(x^24-1)^4/((x^8-1)*(x^4-1)*(x^2-1)*(x-1))
> >
> > Pondo esta expressao para f(x) (que de fato eh um polinomio de grau 97) para
> > ser avaliada pelo PARI-GP, eu achei que o coeficiente de x^23 eh igual a 74.
> >
> > Logo, existm 74 solucoes inteiras nao-negativas para a sua equacao.
> >
> > Naturalmente, Mathematica, Matlab ou Maple tambem podem ser usados. O que eu
> > nao recomendo eh fazer na mao. Nao soh ha uma grande chance de voce errar
> > alguma conta, mas tambem voce vai ficar de saco tao cheio que corre o risco
> > de comecar a odiar matematica e abondonar esta bela ciencia pela razao
> > errada.
> >
> > O PARI-GP eh um software de matematica (especialmente teoria dos numeros)
> > que pode ser baixado gratuitamente da internet.
> > O site eh este aqui:
> > http://www.parigp-home.de/
> >
> > Um abraco,
> > Claudio.
> >
> > =========================================================================
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > =========================================================================
> >
> >
> >