[obm-l] Problema dos algarismos do Duda Stabel

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Problema original:

Achar todos os quadrados perfeitos que tenham apenas 2 algarismos
significativos sendo um deles o "3".

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O Eduardo (e_lema@ig.com) apresentou uma demonstracao de que os unicos
numeros que satisfazem o enunciado sao os da forma 36*10^(2m), a qual eu
ainda nao examinei.

Entrementes, com algum esforco consegui encontrar demonstracoes (longas e
nao muito elegantes mas espero que corretas) de que nenhum numero da forma
3*10^(m+1) + 1  ou da forma  3*10^(m+1) + 4  eh quadrado perfeito.

Como estes eram os unicos numeros que ainda precisavam ser examinados (vide
minha mensagem anterior sobre o assunto), concluimos que os unicos numeros
que satisfazem o enunciado sao, de fato, os da forma 36*10^(2m) (m inteiro
nao negativo)

*****

Suponhamos que 3*10^(m+1) + 1 = N^2, para algum natural N.

Como 34 e 304 nao sao quadrados, podemos supor que m >= 2.

N^2 == 1 (mod 10) ==>
N == 1  ou  N == -1 (mod 10) ==>
N = 10a +ou- 1, para algum natural a ==>
N^2 = 100a^2 +ou- 20a + 1 = 20a(5a +ou- 1) + 1 ==>
3*10^(m+1) = 20a(5a +ou- 1) ==>
3*2^(m-1)*5^m = a(5a +ou- 1)

5^m | a ==> 
a = b*5^m, para algum natural b ==>
3*2^(m-1) = b*(b*5^(m+1) +ou- 1)

Caso 1: b eh par
b*5^(m-1) +ou- 1 eh impar ==>
2^(m-1) | b ==> 
b = c*2^(m-1) para algum natural c ==>
3 = c*(c*2^m*5^(m-1) +ou- 1)

Mas:
m >= 2 ==> 
c*2^m*5^(m-1) +ou- 1 >= 20*c +ou- 1 > 3 ==>
contradicao

Caso 2: b eh impar
2^(m-1) | b*5^(m+1) +ou- 1 ==>
b*5^(m+1) +ou- 1 = c*2^(m-1) para algum natural c ==>
3 = b*c ==>
b = 1 e c = 3   ou   b = 3 e c = 1

b = 1 e c = 3 ==> 
5^(m+1) +ou- 1 = 3*2^(m-1) ==>
contradicao, pois para m >= 2, 5^(m+1) - 1 > 3*2^(m-1) (inducao facil)

b = 3 e c = 1 ==>
3*5^(m+1) +ou- 1 = 2^(m-1) ==>
contradicao (idem)

Conclusao: nenhum numero da forma 3*10^(m+1) + 1 eh quadrado perfeito.

*****

Suponhamos que 3*10^(m+1) + 4 = N^2, para algum natural N.

Como 34, 304 e 3004 nao sao quadrados, podemos supor que m >= 3.

N^2 == 4 (mod 10) ==>
N == 2 ou N == -2 (mod 10) ==>
N = 10a +ou- 2, para algum natural a ==>
N^2 = 100a^2 +ou- 40a + 4 = 20a(5a +ou- 2) + 4 ==>
3*10^(m+1) = 20a(5a +ou- 2) ==>
3*2^(m-1)*5^m = a(5a +ou- 2)

5^m | a ==> 
a = b*5^m para algum natural b ==>
3*2^(m-1) = b(b*5^(m+1) +ou- 2)

Caso 1: b eh par
b = 2c, para algum natural c ==>
3*2^(m-1) = 2c(2c*5^(m+1) +ou- 2) ==>
3*2^(m-3) = c(c*5^(m+1) +ou- 1)

Caso 1.1: c eh par
c*5^(m-1) +ou- 1 eh impar ==>
2^(m-3) | c ==>
c = d*2^(m-3) para algum natural d ==>
3 = d*(d*2^(m-3)*5^(m-1) +ou- 1) ==>
contradicao, pois d*2^(m-3)*5^(m-1) +ou-1 >= 24

Caso 1.2: c eh impar ==>
c*5^(m-1) +ou- 1 eh par ==>
c*5^(m-1) +ou- 1 = 2^(m-3)*d, para algum natural d ==>
3 = c*d ==>
c = 1, d = 3    ou    c = 3, d = 1
Ambos os casos resultam em contradicao, conforme visto acima

Caso 2: b eh impar
b(b*5^(m-1) +ou- 2) eh impar ==>
3*2^(m-1) eh impar ==>
m = 1 ==>
contradicao, pois estamos supondo m >= 3.

Conclusao: nenhum numero da forma 3*10^(m+1) + 4 eh quadrado perfeito

*****

Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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