Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos

[e_lema@xxxxxxxxx]

 Cláudio obrigado pelas correções, e aqui vai a solução, gostaria procurasse 
erros nela, ou tentasse simplificá-la. 

Não há quadrado perfeito que termine em 3, logo o 3 deverá ser o 1º alg. da 
esq. p/ dir. 
Sendo assim os números do tal conjunto deverão ser da forma 300...0n00...0 
ou 
W=3*10^(p+2q+1)+n*10^(2q) ; Sendo todas as incógnitas inteiras 
não-negativas, onde n 
só poderá assumir os valores de: 1, 4, 5, 6, 9 
Provemos agora que p só pode ser zero. 

W=300...0n*10^(2q)=K*K, K inteiro :. 300...0n=q*q, q inteiro, logo: 
q*q=3*10^(p+1)+n=30*10^(p)+n :. 
q*q-n=(q+n^0,5)(q-n^0,5)=[3*10^(t)]*[10^(s)], t,s reais 
                          q+n^0,5=3*10^t                  q+n^0,5=10^s      
q=3*10^t+n^0,5 
temos dois casos: t>=s :.      e             ou    t<s :.      e         ;   
     ou 
                          q-n^0,5=10^s                    q-n^0,5=3*10^t    
q=10^s+n^0,5 

a-)q*q=9*10^(2t)+6*n^(0,5)*10^(t)+n   ou   b-)q*q=10^(2s)+2*n^(0,5)*10^(s)+n 

a-)10^(2t)=10^(a)/3, a inteiro positivo, pois 9*10^(2t)=3*10^(a)=300...0 
Desse jeito q*q=3*10^(a)+6*((n*10^(a))/3)^(0,5)+n=3*10^(a)+2(n*3*10^(a))+n 
q*q só será inteiro se n*3*10^(a) o for também. Mas nehum dos valores 
possíveis de n 
faz essa condição ser obedecida. Daí, hipótese a é falsa. 

b-)10^(2s)=3*10^(a), a inteiro positivo, pois 10^(2s)=3*10^(a)=300...0 
Desse jeito q*q=3*10^(a)+2*(n*3*10^(a))+n, ora recaímos no caso anterior, 
logo a 
hipótese b também é falsa 

Disso concluímos que no número W=300...0n00...0, entre 3 e n não deve haver 
zeros, com isso 
W=3n00...0=3n*10^(2q)=K*K :. 3n=q*q :. n=6 

Logo a resposta será: 

   3600...0, onde o nº de zeros é par, ou  3,6*10^(2q+1); q>=0 e q inteiro 


>>>> --- Claudio Buffara 
>>>> escreveu: > Caros 
>>>> colegas: 
>>>>> 
>>>>> Aqui vao dois problemas que ainda estao em 
>>>>> aberto na lista. O primeiro foi 
>>>>> enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da 
>>>>> olimpiada iraniana, se nao me 
>>>>> engano. 
>>>>> 
>>>>> 1) Determinar o conjunto de números inteiros 
>>>>> positivos que satisfazem à duas 
>>>>> condições: (i) todo número possui exatamente 
>>>>> dois algarismos não-nulos, 
>>>>> sendo um deles o três(3), (ii) todo número é 
>>>>> quadrado perfeito. 
>>>>> 
>>>>> 2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2 
>>>>> tal que ao se permutar os 
>>>>> algarismos de sua representacao decimal 
>>>>> obtem-se uma outra potencia de 2. 
>>>>> 
>>>>> Esse segundo tem uma solucao aparentemente 
>>>>> simples, mas esta solucao exclui 
>>>>> o caso de potencias de 2 com algarismos "0" 
>>>>> internos (ou seja, numeros do 
>>>>> tipo "abcd0000efg"). 
>>>>> 
>>>>> Um abraco, 
>>>>> Claudio. 
>>>>> 
>>>>> 
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