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Esse é clássico. Estou surpreso que ninguém
respondeu até agora. Só não entendi o que é :(A area externa aos vertices das extremidades nao entra na
contagem).
Imagino que seja pra contar só as regiões
limitadas? Bom, vou fazer contando todas (que o 1597 indica ser a interpretação
correta do problema), que, depois que você explicar melhor,
deve dar pra ajustar
as contas.
Vou chamar de R(n) o número máximo de regiões em
que o plano plano pode ser dividido por n retas. Isso contando as regiões "de
fora", aquelas que são ilimitadas.
Claramente
R(0)=1
R(1)=2
R(2)=4 (faço um X com as retas)
R(3)=7 (desenho a 3a não paralela as 2
primeiras)
Agora vou tentar achar uma relação entre R(n) e
R(n-1). Para isso vamos imaginar um filme da 3a reta sendo
desenhada.
Antes dela encostar nas outras duas só há R(2)=4
regiões.
Quando ela bate na 1a reta surge mais
uma.
Quando bate na segunda surge outra.
Quando ela chega no infinito (no final do filme)
aparece mais outra.
Hummm. Parece que R(n) é R(n), mais (n -1) regiões
que aparecem quando a reta nova bate nas (n - 1) outras retas, mais 1
quando ela bate no infinito. Ou seja,
R(n)= n+R(n-1) = n+ (n-1) +R(n-2) = .... = n +
(n-1) + (n-2) + ... + 1 + R(0) = n(n+1)/2 + 1
Felizmente isso bate com os valores que a gente
calculou antes. Ufa!
Agora, você pediu o menor n tal que
R(n)= n(n+1)/2 + 1 é pelo menos 1597. Resolvendo a
eq. do 2o grau, R(56)=1597, na mosca! |