[obm-l] x^x = 2^(-raiz(x))

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 01.08.03 15:10, Paulo Santa Rita at p_ssr@hotmail.com wrote:

> Ola Pessoal !
> 
> Alguem me propos a questao ( que compartilho com voces ) :
> 
> Quantas solucoes reais tem X^X = 2^(- RAIZ_2(X)), onde RAIZ_2(X) e a raiz
> quadrada de X.
> 
> Regra : Nao vale usar calculo !
> Dica : X=1/e pode ser um ponto importante ...
> 
> Um Abraco
> Paulo Santa Rita
> 6,1508,010803
> 
Oi, Paulo:

O universo de x tem que ser o conjunto dos reais positivos.

x^x = 2^(-raiz(x)) ==>

(x^raiz(x))^raiz(x) = (1/2)^raiz(x) ==>

x^raiz(x) = 1/2

Vamos supor que x = 1/2^n. Nesse caso:

x^raiz(x) = (1/2^n)^(1/2^(n/2)) = (1/2)^(n/2^(n/2)) = 1/2 ==>
n/2^(n/2) = 1 ==>
n = 2^(n/2) ==>
n^2 = 2^n ==>
n = 2  ou  n = 4  ou  n = -a,
onde a eh um numero real positivo menor do que 1 e tal que a^2 = 2^(-a)
(repare que os graficos de y = x^2 e y = 2^x se intersectam num ponto de
abscissa negativa igual a -a. Nao faco a menor ideia se a eh racional ou
irracional ou mesmo transcendente, mas apostaria nessa ultima alternativa)

n > 4 ==> 2^n > n^2 ==> n = 4 eh a maior solucao de n^2 = 2^n

Portanto:
n = 2 ==> x = 1/4
Testando: 
x^x = (1/4)^(1/4) = (1/2)^(1/2) = 1/raiz(2)
2^(-raiz(x)) = 2^(-raiz(1/4)) = 2^(-1/2) = 1/raiz(2) ==>
x = 1/4 eh raiz

n = 4 ==> x = 1/16
Testando:
x^x = (1/16)^(1/16) = (1/2)^(4/16) = 1/2^(1/4)
2^(-raiz(x)) = 2^(-raiz(1/16)) = 1/2^(1/4) ==>
x = 1/16 eh raiz

n = -a ==> x = 2^a
Testando:
x^x = (2^a)^(2^a) = 2^(a*2^a) = 2^(a/a^2) = 2^(1/a)
2^(-raiz(x)) = 2^(-raiz(2^a)) = 2^(-raiz(1/a^2)) = 2^(-1/a) ==>
x = 2^a nao eh raiz

Assim, a equacao original tem 2 solucoes: x = 1/4 e x = 1/16.


Um abraco,
Claudio.

 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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