Oi, Rafael:
Eu achei uma resposta diferente (7), mas posso ter errado em alguma conta...
Minha ideia foi comecar achando a relacao de recorrencia obedecida por R(n).
O polinomio caracteristico tem como raizes 3+2raiz(2) e 3-2raiz(2) ==>
p(x) = x^2 - 6x + 1 ==>
R(n) = 6R(n-1) - R(n-2)
As condicoes iniciais sao:
R(0) = (1+1)/2 = 1
R(1) = (a+b)/2 = 3
Agora, vamos trabalhar mod 10 pois queremos apenas o algarismo das unidades:
R(2) == 6*3 - 1 == 17 == 7 (mod 10)
R(3) == 6*7 - 3 == 39 == 9
R(4) == 6*9 - 7 == 47 == 7
R(5) == 6*7 - 9 == 33 == 3
R(6) == 6*3 - 7 == 11 == 1
R(7) == 6*1 - 3 == 3
Daqui por diante, eh facil ver que o ciclo se repete com periodo = 6, ou seja:
R(0) == R(6) == R(12) == ... == R(6m) == 1
R(1) == R(7) == R(13) == ... == R(6m+1) == 3
R(2) == R(8) == ... == R(6m+2) == 7
R(6m+3) == 9
R(6m+4) == 7
R(6m+5) == 3
Como 1234 = 6*205 + 4, teremos que R(1234) == 7 (mod 10)
Um abraco,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br |
| Data: |
Thu, 31 Jul 2003 08:39:15 -0300 (ART) |
| Assunto: |
[obm-l] potências |
> Se Rn = (a^n + b^n)/2 onde a = 3 + 2sqrt(2), b = 3 -
> 2sqrt(2) e n = 0, 1, 2, 3, ... então R1234 é um
> inteiro. Seu algarismo das unidades é:
>
> resposta: 9
>
> Abraços,
>
> Rafael.
>
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