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[obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
Ola Pessoal,
Revendo a mensagem na qual aprresento a PROVA DE CAUCHY para o Teorema
Fundamental da Algebra achei-a um tanto confusa, pois eu estava escrevendo
com
pressa. Como este Teorema e importante, dificilmente encontrado em livros do
ensino medio e sendo a prova de Cauchy simples, facilmente acompanhavel por
um estudante dedicado, resolvi re-escrever a prova, colocando detalhes de
forma que
qualquer pessoa possa entender.
Esse Teorema tem provas mais longas e mais curvas. Usando Analise complexa a
prova e trivial e curtissima, mas nao acho que seja adeguado apresentar
aqui, por
obvias razoes.
A IDEIA FUNDAMENTAL : A ideia subjacente a esta prova e a seguinte. Se
everdade
que todo polinomio no plano de Argand tem raiz, entao esta raiz minimiza o
seu modulo
e a suposicao de um minimo positivo deve conduzir a um absurdo. Como fazer
este
absurdo surgir ? Considerando um circulo em torno do ponto que minimiza o
modulo do
polinomio e tratando retas passando por este ponto. Em uma destas retas
evidenciara
o absurdo. O resto e detalhe.
Segue a Prova de Cauchy :
Seja P(X) = A0*(X^n) + A1*(X^n-1) + ... + An-1*X + An um polinomio no qual
os
coeficientes A0, A1, ..., An-1, An sao numeros complexos quaisquer e X e uma
variavel complexa. Queremos mostrar que existe Z complexo tal que :
P(Z) = A0*(Z^n) + A1*(Z^n-1) + ... + An-1*Z + An = 0.
Para tanto, seja M = MIN { MODULO( P(X) ), X variando em C }.
Como, por definicao, modulo( P(X) ) >= 0. Segue que M >= 0. Portanto, M pode
ser
PRIMEIRO CASO : M = 0.
Neste caso, existe um complexo Z0 tal que MODULO( P(Z0) ) = 0. Segue que
P(Z0) = 0 e portanto Z0 e uma raiz de P(X) e a demonstracao esta concluida.
SEGUNDO CASO : M > 0.
Neste caso, seja Z0 o complexo tal que MODULO( P(Z0) ) = M. IMAGINANDO no
plano complexo um circulo de centro Z0 e raio R, segue que qualquer ponto Z
na
circunferencia deste circulo pode ser imaginado como a extremidade de um
vetor,
soma dos vetores :
Z0 : origem em (0,0) e extremidade no ponto Z0
Z1 : origem no ponto Z0, extremidade no ponto Z e modulo R
Assim, para qualquer Z na circunferencia do circulo, teremos :
Z = Z0 + Z1
Calculando agora P(Z), teremos :
P(Z)=P(Z0 + Z1)=A0*((Z0 + Z1)^n ) + A1*((Z0+Z1)^n-1 ) + ... + An-1*(Z0+Z1) +
An
Na expressao acima, ao expandirmos (Z0+Z)^p - p = 0,1,2, ..., n - usando o
Binomio
de Newton, iremos obter as parcelas A0*(Z0^n), A1*(Z0^n-1), ..., An-1*Z0, An
nas
quais nao aparece Z1 e diversas outras parcelas, nas quais sempre constara
Z1 :
1) Sozinho, sem que apareca Z0. Exemplos :
A0*(Z1^n), A1*(Z1^n-1), ..., An-1*Z1
2) Acompanhado de Z1. Exemplos :
BINOM(N,1)*A0*(Z0^n-1)*(Z1), BINOM(N,N-1)*A0*(Z0)*(Z1^n-1), ...
onde BINOM(N,P) = N! / ( P!*(N-P)! )
Esta observacao deixa claro que P(Z0+Z1) tera o seguinte aspecto :
P(Z0+Z1) = P(Z0) + B0*(Z1^n) + B1*(Z1^n-1) + ... + Bn*Z1
onde cada Bi e uma constante ou um polinomio em Z0.
Claramente que dependendo dos Ai originais, de "n" e do valor de Z0, alguns
destes
Bi poderao ser nulos. Se, alem de eliminar os Bi nulos, ordenarmos o
polinomio em Z1
resultante segundo as potencias crescentes de Z1, renomeando a seguir os Bi
por C's,
teremos algo semelhante a :
P(Z0+Z1) = P(Z0) + C1*(Z1^a) + C2*(Z1^b) + ... + Cp*(Z1^w).
Nesta ultima expressao acima :
1) Nenhum dos Ci e nulo, por construcao.
2) a < b < c < ... < w, em virtude da ordenacao
3) p <= n, obvio.
Colocando C1*(Z1^a) em evidencia :
P(Z0+Z1) = P(Z0) + C1*(Z1^a)*[ 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... + (Cp/C1)*(Z1^w-a)
]
Como estamos supondo P(Z0) > 0, podemos dividir tudo po P(Z0). Dividindo :
P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + ( C1/P(Z0) )*(Z1^a)*[ 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... +
(Cp/C1)*(Z1^w-a) ]
P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + ( C1/P(Z0) )*[(Z1^a)*( 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... +
(Cp/C1)*(Z1^w-a) )]
Fazendo C1/P(Z0) = k :
P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + k*[(Z1^a)*( 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... +
(Cp/C1)*(Z1^w-a) )]
P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + k*[(Z1^a)*( 1 + Z1*F(Z1) )
onde F(Z1) e uma funcao ( um polinomio ) em Z1.
Claramente que sao numeros complexos tanto "k" quanto Z1, podendo portanto
serem
colocados na forma trigonometrica, isto e :
k = P*( cosQ + i*senQ ) e Z1 = R( cosS + i*senS )
Portanto : k*(Z1^a) = P(R^a)*( cos(Q + aS) + i*sen(Q + aS) ). Dai :
P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1+ P(R^a)*( cos(Q + aS) + i*sen(Q + aS) )*( 1 + Z1*F(Z1)
)
PRESTE BASTANTE ATENCAO AQUI : Z0 e fixo. Ele e o complexo que torna modulo(
P(Z) )
minimo. Segue que P(Z0) e um complexo fixo e que C1/P(Z0) tambem o e, pois
C1 e uma constante ou um polinomio em Z0. Mas Z1 nao e fixo. Z1 e UM PONTO
na circunferencia do circulo de centro Z0 e raio R. Portanto, QUALQUER QUE
SEJA Z0, podemos escolher Z1 de forma que Q + aS = pi, qualquer que seja o
natural "a". Assim, existe Z1 tal que Q + aS = pi.
E como Z = Z0 + Z1, podemo dizer que EXISTE Z tal que Q+aS = pi.
Fazendo a substituicao :
P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1+ P(R^a)*( cos(pi) + i*sen(pi) )*( 1 + Z1*F(Z1) )
P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 - P(R^a)*( 1 + Z1*F(Z1) ) = 1 - P(R^a) -
P(R^a)*Z1*F(Z1) )
Aplicando modulo nos dois lados :
modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) ) = modulo ( 1 - P(R^a) - P(R^a)*Z1*F(Z1) ) )
A desigualdade modulo(a-b) =< modulo(a) + modulo(b) aplica-se tambem aos
numeros
complexos. Aplicando-a :
modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) ) =< modulo ( 1 - P(R^a) ) + modulo(
P(R^a)*Z1*F(Z1) )
modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) ) =< modulo ( 1 - P(R^a) ) +
P(R^a)*modulo(Z1)*modulo(F(Z1) )
mas modulo(Z1) = R. Assim :
modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) ) =< modulo ( 1 - P(R^a) ) +
P(R^a+1)*modulo(F(Z1) )
PRESTE BASTANTE ATENCAO AQUI. Nos tomamos um Z=Z0+Z1, isto e, escolhemos
um Z0 de forma que Q+aS = pi. Ora, Z e um ponto da circunferencia do circulo
de centro
Z0 e raio R. Portanto, se diminuirmos R e mantivermos a direcao de Z
estaremos, de fato, como que fazendo um corte no circulo original de raio R
... Isso ( a dimuicao de R ) vai diminuir
P(R^a) e P(R^a+1)*modulo(F(Z1) ), pois "a" e um numero natural fixo e R esta
diminuindo. Claramente que INEVITAVELMENTE P(R^a) se tornara maior que
P(R^a+1)*modulo(F(Z1) ) para algum R suficientemente pequeno. Quando isto
ocorrer :
modulo ( 1 - P(R^a) ) + P(R^a+1)*modulo(F(Z1) ) < 1. Seguira que :
modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) ) < 1 => modulo( P(Z0+Z1) ) < modulo(
P(Z0)) ... ABSURDO !
Pois modulo(P(Z0)) e minimo !
Esse absurdo derivou do fato de postularmos que modulo(P(Z0)) > 0. Assim,
esta tese e
insustentavel e temos que admitir que :
modulo(P(Z0)) = 0 => P(Z0) = 0, isto e :
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ALGEBRA : Toda equacao polinomial de qualquer grau N
e com quaisquer coeficientes complexos tem uma raiz.
A PRIMEIRA IDEIA DE GAUSS : Em sua primeira demonstracao ( tese de doutorado
) Gauss substitui cada numero complexo pelo binomio "a+bi" e divide o
polinomio em duas funcoes de duas variaveis : Real(a,b) e Complexo(a,b). A
seguir, tecendo consideracoes geometricas ele mostra que o sistema :
Real(a,b) = 0 e Complexo(a,b) = 0
Necessariamente tem uma solucao. Ele nao ficou satisfeito e tentou ffazer
uma prova estritamente algebrica, mas nao conseguiu. Segundo Jean Dioudonne,
Matematico frances do Grupo Boubarki, o TFA depende necessariamente de
consideracoes topologicas e, portanto, a pretensao de Gauss era infundada.
O TFA tem muitas implicacoes. Uma, conhecida como TEOREMA DE BOLZANO, e
muito bonita. Alguem gostaria de mostrar esta implicacao ?
Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
2,1448,210703
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