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[obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos numeráveis e conjuntos não enumerávei
On Wed, Jul 16, 2003 at 02:24:02AM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
> Bom dia a todos, Eu gostaria de levantar um assunto que há algum tempo me
> intriga. O fato de um conjunto ser ou nao numeravel eh algo intrinseco ao
> conjunto ou depende da topologia nele definida?
O conceito de cardinal 'e um dos poucos que est intrinseco ao conjunto, n~ao
depende de nenhum outro tipo de estrutura, seja topol'ogica ou qq outra.
> Vou tentar explicar porque isso me
> intriga. Para tanto, consideremos o
> conjunto R dos reais com a topologia
> usual, definida pela metrica Euclidiana.
> Nesta situacao, sabemos que R eh
> completo. Vamos agora analisar uma prova
> classica de que R nao eh numeravel.
> Tomemos entao o intervalo I = [0,1] e
> seja X ={x_1,... x_k...} uma enumeracao
> de elementos de I. Como todo elemento de
> R eh ponto de acumulacao do mesmo,
> podemos escolher um subintervalo fechado
> I_1 de I que nao contenha x_1. Da mesma
> forma, podemos escolher um subintervalo
> fechado I_2 de I_1 que nao contenha x_2.
> Atraves de um raciocinio indutivo,
> constatamos que este processo gera uma
> sequencia {I_k} de subintervalos
> fechados de I tal que, para cada k, x_k
> nao pertence a I_k. Logo, nenhum
> elemento da enumeracao X eh comum a
> todos os intervalos I_k. Mas como R eh
> completo, existe, segundo um conhecido
> teorema, um elemento x comum a todos os
> I_k que, consequentemente, pertence a I
> mas nao estah englobado na enumeracao X.
> Isto nos mostra que nenhuma enumeracao
> de elementos de I cobre a totalidade de
> I, do que deduzimos que I e, portanto, o
> proprio R, nao sao numeraveis.
>
> Mas para que esta prova seja valida, precisamos saber previamente que R eh
> completo e que todos seus elementos sao pontos de acumulacao do mesmo. Tais
> condicoes dependem da topologia definida em R.
Sim, a prova que voc^e acabou de dar depende da topologia de R. Ali'as depende
tamb'em da ordem. Mas n~ao importa, R continua a ser n~ao enumer'avel mesmo sem
esta estrutura (a demonstra,c~ao pode n~ao funcionar, mas a conclus~ao ainda 'e
correta).
> Se, por exemplo,
> tivermos R
> estruturado com
> a topologia
> definida pela
> metrica
> discreta, entao
> a prova acima
> deixa de valer.
> Embora R
> continue sendo
> completo (as
> sequencias de
> Cauchy passam a
> ser aquelas que
> se tornam
> constantes a
> partir de algum
> k), nenhum
> elemento de R,
> na metrica
> discreta, eh
> ponto de
> acumulacao do
> mesmo. Logo, os
> requisitos
> basicos para a
> prova mencionada
> nao mais
> vigoram.
>
> Na realidade, a prova que reproduzi para I eh um caso particular de uma outra
> que diz que se um espaco topologico S eh compacto e nao contem pontos
> isolados, entao S nao eh numeravel. O que acarreta que se um espaco
> topologico contem um sub-espaco com as caracteristicas de S, entao o espaco
> nao eh numeravel. Mas, os conceitos de conjunto compacto e de pontos isolados
> dependem da topologia definida.
>
> Uma outra prova da nao enumerabilidade de R eh a de Cantor, baseada em
> expansoes decimais dos numeros reais. Mas esta prova tambem pressupoem R com
> a topologia usual.
Eu discordo, acho que a prova que usa expans~oes decimais n~ao usa propriamente
topologia nenhuma, usa apenas o fato de existir uma fun,c~ao injetora do
conjunto das seq"u^encias infinitas de 0s e 1s em R (que leva, por exemplo, a
seq 0100101001010... no n'umero com expans~ao decimal 0.0100101001010...).
>
> E eh isto que me intriga. Eh posivel provar que R nao eh numeravel sem
> admitirmos alguma topologia nele definida? O fato de provarmos que um
> conjunto eh ou nao numeravel numa topologia garante que tais condicoes sao
> preservadas em qualquer topologia?
Fica dif'icil provar alguma coisa sobre R se voc^e n~ao tiver um m'inimo
de informa,c~ao sobre R. Em geral esta informa,c~ao ser'a de natureza
topol'ogica (informa,c~ao de natureza puramente alg'ebrica 'e insuficiente)
mas isto n~ao significa que R v'a deixar de ser n~ao enumer'avel se
a topologia mudar.
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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