Re: [obm-l] Sugestao para solucao

[Marcio <mmrocha1@xxxxxxxxxx>]

on 7/6/03 11:24 PM, Domingos Jr. at dopikas@uol.com.br wrote:

> 1) Seja A um anel, tal que x^2 = x para todo x de A. Prove que A eh
> comutativo.
> A minha tentativa foi a seguinte: Tomei x e y de A. Assim, (x + y)^2 = x +
> y.
> Desenvolvendo, temos:
> x.x + x.y + y.x + y.y  = x + y.
> x^2 + x.y + y.x  +  y^2 = x + y.
> Apos a simplificacoes possiveis, cheguei a
> xy = -(yx)
> Mas isso nao significa que A eh comutativo. Onde errei?
> 
> que tal:
> -(yx) pertence a A, então
> -(yx) = [-(yx)]² = (yx)² = yx
> 
> para ver que (-a)² = a², temos
> 0 = a.0 = a.(a - a) = a² + a(-a) => a.(-a) = -a²
> da mesma forma
> 0 = 0.a = (a - a).a = a² + (-a).a => (-a).a = -a²
> tb temos:
> (a - a)² = 0
> a² + a(-a) + (-a).a + (-a)² = 0
> a² - a² - a²+ (-a)² = 0
> - a²+ (-a)² = 0 => (-a)² = a²
> 
> acho que nem precisava dessa última parte, mas serve como curiosidade...
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
Domingos,

Obrigado pela atencao. Voce nao tentou resolver a segunda ou, como o Paulo,
voce nao entendeu o enunciado?

Valeu,

Marcio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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