Re: [obm-l] Sugestao para solucao

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

1) Seja A um anel, tal que x^2 = x para todo x de A. Prove que A eh
comutativo.
A minha tentativa foi a seguinte: Tomei x e y de A. Assim, (x + y)^2 = x +
y.
Desenvolvendo, temos:
x.x + x.y + y.x + y.y  = x + y.
x^2 + x.y + y.x  +  y^2 = x + y.
Apos a simplificacoes possiveis, cheguei a
xy = -(yx)
Mas isso nao significa que A eh comutativo. Onde errei?

que tal:
-(yx) pertence a A, então
-(yx) = [-(yx)]² = (yx)² = yx

para ver que (-a)² = a², temos
0 = a.0 = a.(a - a) = a² + a(-a) => a.(-a) = -a²
da mesma forma
0 = 0.a = (a - a).a = a² + (-a).a => (-a).a = -a²
tb temos:
(a - a)² = 0
a² + a(-a) + (-a).a + (-a)² = 0
a² - a² - a²+ (-a)² = 0
- a²+ (-a)² = 0 => (-a)² = a²

acho que nem precisava dessa última parte, mas serve como curiosidade...

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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