Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desafio: ladrilhar um tri�ngulo

[Anderson Sales Pereira <aspx@xxxxxxxxxxxx>]

Ola Nicolau,

Obrigado pela corre��o.

Um abra�o,

Anderson


At 15:14 27/6/2003 -0300, Nicolau C. Saldanha wrote:
>On Thu, Jun 26, 2003 at 05:29:33PM -0300, Anderson Sales Pereira wrote:
> > Boa tarde pessoal tudo bem?
> >
> > Agradeceria se algu�m pudesse corrigir este problema para mim, pois n�o
> > tenho certeza quanto 'a minha resolu��o:
> >
> > 2. Um museu tem um terreno de exposi��o na forma de um tri�ngulo
> > ret�ngulo de catetos 50m e 60m. A dire��o do museu decidiu ladrilhar
> > a �rea. Cada ladrilho � um quadrado de 10 cm de lado. Os ladrilhos
> > s�o feitos de um material que pode ser cortado apenas 1 vez, devido
> > ao risco de rachaduras. Al�m disso, apenas uma das partes do
> > ladrilho cortado pode ser aproveitada. Responda:
> > a) Qual o n�mero exato de ladrilhos que ser� empregado na obra?
> >
> > O n�mero exato de ladrilhos utilizado � igual 'a area do triangulo 
> dividida
> > pela 'area de cada ladrilho. Transformando os valores para centimetros 
> temos:
> >
> > �rea Terreno = (6000 x 5000) / 2 = 15 000 000 cm^2
> > �rea Ladrilho = 10 x 10 = 100 cm^2
> > n Ladrilhos = 15 000 000 / 100 = 150 000 ladrilhos
>
>N�o, isto n�o est� certo. Voc� est� implicitamente supondo que os ladrilhos
>podem ser recotados e remontados livremente quando o enunciado diz exatamente
>o contr�rio.
>
>Acho que devemos supor que os ladrilhos t�m todos os lados paralelos
>aos catetos do terreno (isso n�o foi dito no enunciado; uma solu��o
>a meu ver mais correta incluiria estudar todas as inclina��es poss�veis
>e ver qual a melhor). Assim, medindo tudo em dec�metros, devemos
>considerar o tri�ngulo de v�rtices (0,0), (500,0) e (0,600) e ver
>quantos quadrados da forma [a,a+1]x[b,b+1], onde a e b s�o inteiros,
>tem alguma parte (que pode ser pequena ou o quadrado todo) no interior
>do tri�ngulo. Como para a, b >= 0, o canto inferior esquerdo � o que tem
>mais chance de estar abaixo da hipotenusa devemos contar os pares de
>inteiros (a,b) com
>
>a >= 0, b >= 0, a/500 + b/600 < 1
>
>que eu prefiro escrever como
>
>a >= 0, b >= 0, b < 600 - 6a/5.
>
>Para cada a, 0 <= a < 500, seja f(a) o n�mero de inteiros b que satisfazem
>
>b >= 0, b < 600 - 6a/5
>
>A resposta � N = f(0) + f(1) + ... + f(499) = soma_{0 <= a < 500} f(a)
>Temos f(a) = teto(600 - 6a/5), onde teto(x) = n sse n � inteiro e
>n-1 < x <= n. Assim
>
>N = teto(600) + teto(600 - 6/5) + teto(600 - 2*6/5) +
>         + teto(600 - 3*6/5) + teto(600 - 4*6/5) +
>    + teto(600 - 6) + teto(600 - 6 - 6/5) + teto(600 - 6 - 2*6/5) +
>         + teto(600 - 6 - 3*6/5) + teto(600 - 6 - 4*6/5) + ...
>... + teto(600 - 6*99) + teto(600 - 6*99 - 6/5) + teto(600 - 6*99 - 2*6/5) +
>         + teto(600 - 6*99 - 3*6/5) + teto(600 - 6*99 - 4*6/5)
>   = 600*500 - 5*6*(0+1+2+...+99) +
>         + 100*(teto(-6/5) + teto(-2*6/5) + teto(-3*6/5) + teto(-4*6/5))
>
>
>Mas 0+1+2+...+99 = 99*50 = 4950 e
>teto(-6/5) + teto(-2*6/5) + teto(-3*6/5) + teto(-4*6/5) = -1-2-3-4 = -10
>donde
>
>N = 300000 - 30*4950 - 100*10 = 150500
>
>Ou seja, no quebra quebra h� um desperd�cio de 500 ladrilhos.
>
>O n�mero de ladrilhos cortados � 1000: h� exatamente dois ladrilhos
>cortados por linha e h� 500 linhas. Isto pode ser visto olhando a figura
>ou com um argumento parecido com o que eu acabei de dar.
>
>Note que se pud�ssemos usar os dois peda�os do ladrilho a sua resposta
>estaria correta: precisamos de 149500 ladrilhos inteiros e 1000 peda�os
>que podem ser encaixados para formar 500 ladrilhos.
>
>[]s, N.
>


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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