Re: [obm-l] um problema e um teorema

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Luis:

on 12.06.03 16:11, Luis Lopes at llopes@ensrbr.com.br wrote:

> Sauda,c~oes,
> 
> Racionalize
> \frac{2\sqrt6(\sqrt3 + 1)}{3 + \sqrt3 + 2\sqrt6}
> onde, como sempre, \frac{A}{B} = A / B.
> 

Pra simplificar, vou tentar racionalizar o denominador de:
1/(3 + raiz(3) + 2*raiz(6))

Seja x = 3 + raiz(3) + 2*raiz(6)

Seja y = 3 + raiz(3) - 2*raiz(6) ==>

x*y = 12 + 6*raiz(3) - 24 = -12 + 6*raiz(3)

Seja z = -12 - 6*raiz(3) ==>

x*y*z = 144 - 72 = 72

Alem disso, y*z = (3 + raiz(3) - 2*raiz(6))*(-12 - 6*raiz(3)) =
= -36 - 18*raiz(3) - 12*raiz(3) - 18 + 24*raiz(6) + 36*raiz(2) =
= -54 + 36*raiz(2) -30*raiz9(3) + 24*raiz(6)

Logo:
1/x = y*z/(x*y*z) = (-54 + 36*raiz(2) -30*raiz(3) + 24*raiz(6))/72 ==>

1/x = (-9 + 6*raiz(2) - 5*raiz(3) + 4*raiz(6))/12

*****
 
> Os livros didáticos dão o teorema da existência
> das raízes racionais. Há também o teorema
> 
> Seja f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... a_1x + a_0,
> onde a_n <> 0 e a_i \in Z, i = 0,1,...,n. Se, para um
> primo p qualquer, tem-se
> 
> a_nf(0)f(1)...f(p-1) <> 0 (mod p),
> 
> então a equação f(x)=0 não possui raiz racional.
> 
> Demonstre.
> 

Vou tentar provar o contrapositivo:
Se 
f(x) = 0 tem uma raiz racional
entao 
para todo primo p, a_nf(0)f(1)...f(p-1) == 0 (mod p)


Lema:
Seja p um primo qualquer e sejam r e s inteiros com mdc(s,p) = 1.
Entao, exatamente um dos inteiros abaixo eh divisivel por p:
-r, s - r, 2s - r, ..., (p-1)s - r
Dem:
{0, 1, 2, ..., p-1} eh um scr (mod p)

mdc(s,p) = 1 ==> 
{0, s, 2s, ..., (p-1)s} eh um scr (mod p) ==>
{-r, s - r, 2s - r, ... (p-1)s - r } eh um scr (mod p) ==>
exatamente um dos elementos eh divisivel por p
-----

Seja r/s (r,s inteiros primos entre si) uma raiz racional de f(x) = 0

Pelo teorema das raizes racionais, temos que s divide a_n

Se p divide s, entao p divide a_n ==>
p divide a_nf(0)f(1)...f(p-1) ==>
a_nf(0)f(1)...f(p-1) == 0 (mod p)

Se p nao divide s, entao mdc(s,p) = 1.
Como r/s eh raiz de f(x) = 0, podemos escrever:
f(x) = (sx - r)*g(x), onde, pelo lema de Gauss,
g(x) eh um polinomio de grau n-1 e coeficientes inteiros.

Assim, a_n*f(0)f(1)...f(p-1) =
a_n*(-r)(s - r)(2s - r)...((p-1)s - r)*g(0)g(1)...g(p-1)

Pelo Lema acima, um dos numeros:
-r, s - r, ..., (p-1)s - r eh divisivel por p.
Alem disso, a_n*g(0)g(1)...g(p-1) eh inteiro.

Logo:
a_n*(-r)(s - r)(2s - r)...((p-1)s - r)*g(0)g(1)...g(p-1)
eh divisivel por p ==>

a_nf(0)f(1)...f(p-1) == 0 (mod p)
 
*****

> Exemplo:
> 
> f(x) = 300x^3 - 720x^2 - 6923x + 16856
> 
> não possui raiz racional pois
> 
> 300f(0)f(1)...f(12) <> 0 (mod 13) .
> 
> []'s
> Luís
> 
> 
Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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