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estou achando esse problema meio
estranho...
se for pra provar que dado qualquer escolha de
2^(2n - 1) + 1 ímpares entre (2^(2n), 3^(2n)) sempre há dois ímpares a, b tais
que a² não divide b² e nem b² divide a²:
se a² | b²
<=> existe c inteiro tq. b² =
c.a²
<=> (b - raiz(c).a)(b +
raiz(c).a) = 0
<=> b = +/- raiz(c).a, como a e b são
inteiros c deve ser quadrado perfeito, c = d² pra um inteiro
<=> b = +/- d.a <=> a | b
considere qualquer conjunto ordenado de t = 2^(2n -
1) + 1 ímpares entre (2^(2n), 3^(2n))
{x1, x2, ..., x[t]}
queremos verificar que não há jeito de manter a
propriedade x[i] | x[j] para todo 1 <= i <= j <= t, ou seja é
impossível não haver dois elementos cujos quadrados não podem ser
múltiplo/divisor.
bom, temos que x2 = y1*x1 para algum y1 inteiro, y1
> 1, pois x2 != x1, além disso y1 != 2 pois x2 é ímpar, logo y1 >=
3.
da mesma forma x3 = y2*x2 = y2*y1*x2 e y2 >= 3
pelo mesmo raciocínio... logo x3 >= 9x1, x4 >= 27x1...
x[t] >= 3^[2^(2n - 1)]x1, mas isso é bem maior
do que 3^(2n), e isso é o que me cheira estranho.... problemas desse tipo nunca
deixam uma margem tão folgada assim... será que eu interpretei o problema de
forma errada ou o enunciado está errado, ou ainda, há um erro no meu raciocínio
exposto nesta mensagem?
[ ]'s
----- Original Message -----
Sent: Wednesday, June 11, 2003 6:08
PM
Subject: Re: [obm-l] olimpíadas ao redor
do mundo.....
Devo lembrar-lhe caro Dirichlet, que Gaus fez três
demonstrações de sua tese de doutorado ao longo de sua vida....será que ele
não procurava uma demonstração mais bonita, completa ou elegante??? .Quando
pergunto se alguém fez de outro jeito, é porque acredito que vendo diversas
resoluções incorporo aos meus arquivos neurais novas referencias....ja vi
problemas resolvidos de maneiras difrentes com conceitos totalemente
diferentes que me ensinaram coisas diferentes. Não sou campeão olímpico e nem
tenho esta preocupação...quero retomar o estudo de rudimentos de teoria dos
números , bem como questões olimpicas diversas...sou um mero aprendiz de
matemática olimpica, , tentando melhorar meus pouquissimos conhecimentos nessa
área. Faço isso apenas por realização pessoal...Comecei do zero e hoje ,
através de comparações com resoluções de outros ja arranho alguns problemas
olimpicos. Para que minha mensagem não fique off-topic, Vou mandar um Russo de
2002.
Problema:
No intervalo ( 2^(2n), 3^(2n)), são escolhidos 2^(2n-1)
+ 1 números ímpares. Mostre que podemos encontrar entre estes números dois
números tais que o quadrado de cada um deles não é divisível pelo
outro...
Agradeço antecipadamente possíveis
soluções...
Crom
ps- Caro Dirichlet, suas resoluções( presumivelmente ótimas) serão bem
vindas...
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