Re:[obm-l] Provas da Cone Sul(vamos resolve-las!!!!!)

[Fábio Dias Moreira <fabio.dias.moreira@xxxxxxxxxxxx>]

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Em Qui 29 Mai 2003 16:16, Thiago Sobral escreveu:
>   Aih vai a 3a entaum..
>
>  3.Seja ABC um triângulo acutângulo tal que o ângulo B
> mede 60º. A circunferência de diâmetro AC intersecta as
> bissetrizes internas de A e C  nos pontos M e N
> respectivamente (M != A, N != C). A bissetriz interna do
> ângulo B intersecta MN e  AC nos pontos R e S,
> respectivamente. Demonstrar que BR <= RS.
> [...]

Transcrevo a solução que achei (por complexos) hoje à tarde no IMPA.

Seja B = 0, A = 4 cis 30, C = 4a cis 30. Se P é médio de AC, então P = 
sqrt(3)(1 + a) + i(1 - a). Como S está em AC, seja S = bA + (1-b)C. Como S 
está na bissetriz do ângulo B, ele é real. Logo b - (1-b)a = 0 <==> b = a/1+a 
(no fundo isso é o teorema das bissetrizes internas). Logo S = 4sqrt(3)a/1+a.

Seja MAC = c. Então MNC = c já que MNAC é inscritível. Como PCN = 60-c, PNC = 
60-c, pois PNC é isósceles. Logo MNP é equilátero.

Mas BSC = 30+2c, pois é externo de BAS. Se I é o incentro de ABC, RIC = 90+c, 
pois é externo de ISC. Como RIC é externo de RNI, IRN = 90-c+c = 90, logo MN 
é perpendicular a BS.

PLANO: Achar o raio da circunferência AMNC (digamos r) e achar a parte real de 
P-r*sqrt(3)/2, que vale R, pois r*sqrt(3)/2 é a altura do triângulo 
equilátero. Se provarmos que R está à esquerda do ponto médio de BS, i.e. R < 
2sqrt(3)a/1+a, acabamos.

Mas A-P = sqrt(3)(1-a) + i(1+a), logo r^2 = 3 - 6a + 3a^2 + 1 + 2a + a^2 <==> 
r = 2sqrt(1 - a + a^2)

Então R = sqrt(3)(1+a) - sqrt(3)sqrt(1-a+a^2). Mas 

sqrt(3)(1+a) - sqrt(3)sqrt(1-a+a^2) <= 2sqrt(3)a/1+a <==>
sqrt(1-a+a^2) >= (1+a) - 2a/1+a <==>
(1+a)^2(1-a+a^2) >= (1 + a^2)^2 <==>
a^3 + a >= 2a^2 <==>
a(1-a)^2 >= 0. Como a é positivo, acabou.

Eu acho que gastei uns 45 minutos fazendo essa solução (isso porque escrevi 
que cis 30 = 1/2 + sqrt(3)/2). Eu tirei um ponto nessa questão na prova, por 
ter provado que MN = AC/2 e MN perpend. a BS. Eu tirei 42 pontos. O primeiro 
ouro da Cone Sul foi 50.






Droga!

[]s,

- -- 
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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