Caros colegas,
A solucao do Marcio para o problema 3 abaixo esta' otima, mas pelo que eu
entendi do enunciado, ele calculou 1-q_n, onde q_n e' a probabilidade
pedida. Assim, q_n e' igual a
1-((10+5sqrt(2))/16).((2+2sqrt(2))/5)^n-((10-5sqrt(2))/16).((2-2sqrt(2))/5)^n.
Como eu tinha combinado com o Marcio vou fazer o problema 2. Eu escrevi
para o Morgado sobre o enunciado desse problema, pois eu achava esquisito
que o sujeito recebesse mensalmente mas so' aplicasse anualmente (ele devia
guardar uma parte da renda no colchao todo mes e so' aplica-la no fim do
ano...). A resposta do Morgado foi a seguinte:
Esse problema da renda eh um problema do Boole!
Saxoes costumam discutir salarios anuais. Agora, esse problema estah mal
transcrito. Tudo era anual!
Assim, latinizando o problema (i.e., trocando "anualmente" por
"mensalmente"), e trocando "mes i" por "mes j", para nao confundir com a
taxa, ele fica assim:
2) o salario de carmelino no mes n e' s_n=a+bn. Sua renda mensal e' formada
pelo salario e pelos juros de suas aplicacoes financeiras.Ele poupa
mensalmente 1/p de sua renda e investe sua poupanca a juros mensais de taxa
i. Determine a renda de carmelino no mes j.
Agora vamos la':
Sejam r_j a renda e T_j o total aplicado no mes j. Temos, para todo j>=1,
(1) r_j=s_j+i.T_(j-1)=a+bj+i.T_(j-1) ;
(2) T_j=T_(j-1)+r_j/p ,
com T_0=0.
De (1), temos T_(j-1)=(r_j-a-bj)/i, e T(j)=(r_(j+1)-a-b(j+1))/i.
Substituindo em (2), obtemos r_j/p=T_j-T_(j-1)=(r_(j+1)-r_j-b)/i, donde
r_(j+1)=((i+p)/p).r_j+b. A solucao geral desse tipo de recorrencia e'
r_j=A.((i+p)/p)^j+B, para alguma escolha das
constantes A e B (pois (i+p)/p nao e' 1; um jeito de ver isso e' notar que a
recorrencia implica r_(j+2)-r_(j+1)=((i+p)/p).(r_(j+1)-r_j), e logo
d_j=r_(j+1)-r_j e' uma PG de razao (i+p)/p, bastando soma-la para obter uma
formula para r_j). Resolvendo o sistema
A.((i+p)/p)+B = r_1 = a+b
A.((i+p)/p)^2+B = r_2 = a+2b+(i/p).(a+b),
obtemos A=p(ai+b(p+i))/(i(p+i)) e B=-bp/i, e portanto
r_j=p(ai+b(p+i))/(i(p+i)).((i+p)/p)^j-bp/i.
Abracos,
Gugu
>Re: [obm-l] Raiz QuadradaCumprindo o prometido.. :)
>2) Algo que eh util em varios problemas de recorrencia eh ir calculando =
>os 1o termos da sequencia para ver o que esta acontecendo:
>No mes 0, Carmelino (C) nada fez e portanto tem M(0) =3D S(0) =3D a (M =
>de montante total).
>Ja no mes 1, C ganha S(1) =3D a + b de salario e ele ganha i*M(0) de =
>juros (pois os juros incidem sobre=20
>
>3) Seja p(n) a resposta pedida. p(1)=3Dp(2)=3D1, pq pra ganhar taca sao =
>necessarios ao menos 3 torneios. Vamos olhar para p(3):
>Para que o torneio nao termine no 3o torneio, eh razoavel dividir a =
>situacao em dois casos:
> a) Se o vencedor do 2o torneio for diferente do vencedor do 1o (o =
>que ocorre com probabilidade 4/5), entao o vencedor do torneio3 pode ser =
>qq um que a taca nao sera ganha.
> b) Se por outro lado, o vencedor V(2) do 2o torneio for igual ao do =
>1o - V(1) (o que ocorre com prob. 1/5), entao para a taca nao ser ganhar =
>no 3o,basta que V(3) seja diferente de V(2) (o que ocorre com prob. =
>4/5).=20
>Somando, veja que p(3) =3D 4/5 + 1/5 * 4/5 =3D 24/25
>
>Agora p(4):
> a) Se V(2) !=3D V(1) (prob. 4/5), entao o problema agora eh: Qual a =
>probabilidade de, nos torneios 2,3,4, a taca nao ser dada para ninguem. =
>E isso eh justamente p(3) (apenas os torneios mudaram de nome).=20
> b) Se V(2)=3DV(1) (prob. 1/5), entao o torneio 3 tem que ser ganho =
>por um time diferente de V(1) (prob. 4/5), e dai basta que a taca nao =
>seja ganha nos torneios 3,4 (essa probabilidade eh p(2)=3D1).
>Portanto, p(4) =3D 4/5 * p(3) + 1/5 * 4/5 * p(2)
>
>Esse raciocinio pode ser generalizado de maneira analoga:
>Para calcular p(n+2), divida em dois casos:
> a) Se V(2)!=3DV(1) (prob. 4/5), entao basta saber a probabilidade de =
>a taca nao ser ganha nos torneios 2,3,...,n+2, que eh p(n+1).
> b) Se V(2)=3DV(1) (prob. 1/5), entao deve-se ter V(3)!=3DV(2) =
>(prob.4/5) e dai a taca nao deve ser ganha nos torneior 3,4,...,n+2, o q =
>ocorre com prob. p(n).
>Logo, p(n+2) =3D 4/5 * p(n+1) + 1/5 * 4/5 * p(n), i.e, 25p(n+2) =3D =
>20p(n+1) + 4p(n).
>Resolvendo a eq. caracteristica correspondente: 25t^2 - 20t - 4 =3D 0, =
>donde t =3D (2 +- 2sqrt(2)) / 5.
>Logo, p(n) =3D A* [(2+2sqrt(2))/5]^n + B*[(2-2sqrt(2))/5]^n=20
>Analisando p(1) e p(2) (ou mais simples ainda, note que pondo n=3D0 na =
>recorrencia, tem-se p(0) =3D (25-20)/4 =3D 5/4 para a recorrencia fazer =
>sentido em 0):
>A+B =3D 5/4
>2*(A+B) + 2sqrt(2)*(A-B) =3D 5 =3D> A-B =3D 5sqrt(2)/8 =20
>Logo A =3D [10+5sqrt(2)]/16 e B =3D [10-5sqrt(2)]/16.
>
>Isso fecha o problema..
>
>O 2 ja tem dono, serah feito em breve :)) O fato de ele receber =
>mensalmente e soh poupar anualmente parece deixar a coisa um pouquinho =
>mais chata de ser escrita.
>
>
>
> ----- Original Message -----=20
> From: Marcio=20
> To: obm-l@mat.puc-rio.br=20
> Sent: Saturday, May 24, 2003 9:45 AM
> Subject: Re: [obm-l] Problemas sobre sequencias recorrentes
> > 2) o salario de carmelino no mes n =E9 sn=3Da +bn. Sua renda
> > mensal =E9 formada pelo sal=E1rio e pelos juros de suas=20
> > aplica=E7=F5es financeiras.Ele poupa anualmente 1/p de sua=20
> > renda e investe sua poupan=E7a a juros mensais de taxa=20
> > i.determine a renda de carmelino no mes i.
> >=20
> >=20
> > 3) 5 times de igual for=E7a disputar=E3o todo o ano um=20
> > torneio.Uma ta=E7a ser=E1 ganha pelo time que vencer 3 veze
> s=20
> > consecutivas.Qual a probabilidade da ta=E7a ser ganha nos
>
> > n primeiros torneios?=20
>
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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