Re: [obm-l] duvidas

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Luis:

Fiz alguns. Veja abaixo.

Um abraco,
Claudio.

on 25.05.03 12:07, Lu�s Guilherme Uhlig at lgu@uhlig.com.br wrote:

> Ol� a todos!
> Eu sou Lu�s, novo na lista, terminei o Ensino M�dio ano
> passado, vou prestar vestibular para Eng. Aeron�utica (adoro avi�es,
> foguetes), e tamb�m decidi fazer a Olimp�ada de Matem�tica este ano para me
> divertir. Estou estudando bastante e est�o surgindo muitas d�vidas, que
> pretendo enviar para voc�s resolverem se algu�m quiser me ajudar. Alguns
> exerc�cios podem ser rid�culos para voc�s mas muitos eu j� tentei vezes e
> n�o posso ficar com eles o resto da vida =]
> Abaixo v�o alguns para aquecer:
> 
> Fatore ou desenvolva (transformar em produto).
> Exemplo que consegui:
> c^4 -45c^2 +100
> =(c^2 -20c^2 +100) -25c^2=
> =(c^2 -10)^2 -25c^2=
> =(c^2 -10 +5c)(c^2 -10 -5c)
> Quero ajuda:
> a^3 -7a^2 +7a +15
Pra este vale uma dica: normalmente, em questoes de vestibular ou olimpiada,
quando aparece um polinomio de grau maior que 2, ha uma grande chance de que
pelo menos uma das raizes seja "facil" (ou seja, inteira ou racional com
denominador pequeno).

No caso presente, por inspecao (usando o teorema das raizes racionais),
verificamos que -1 eh raiz. Assim, dividindo o polinomio por a + 1, obtemos
o quaciente: a^2 - 8a + 15, cujas raizes sao 3 e 5.

Logo, a fatoracao eh (a+1)(a-3)(a-5)
 
> 2a^4 +a^3 +4a^2 +a +2
Repare que este polinomio eh igual a:
(2a^4 + 4a^2 + 2) + (a^3 + a) =
2(a^4 + 2a^2 + 1) + a(a^2 + 1) =
2(a^2 + 1)^2 + a(a^2 + 1) =
(a^2 + 1)(2a^2 + a + 2)

> 15x^3 +x^2 -2x
Esse eh mais facil, pois um fator obvio eh x.
Assim, escreva x(15x^2 + x - 2).
As raizes do polinomio quadratico sao (-1 +ou- 11)/30, ou seja, -2/5 e 1/3.
Logo, a fatoracao serah:
15x(x + 2/5)(x - 1/3) = x(5x + 2)(3x - 1)
 
> x^5 +x +1
Escreva x^5 + x + 1 = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 - (x^4 + x^3 + x^2) =
= x^3(x^2 + x + 1) + (x^2 + x + 1) - x^2(x^2 + x + 1) =
= (x^3 - x^2 + 1)(x^2 + x + 1)

> (a+b)^5 -a^5 -b^5
Expandindo o binomio (a + b)^5 e subtraindo a^5 + b^5 ficamos com:
5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 =
5ab(a^3 + 2a^2b + 2ab^2 + b^3) =
5ab(a^3 + 2a^2b + ab^2) + 5a(ab^2 + b^3) =
5a^2b(a^2 + 2ab + b^2) + 5ab^2(a + b) =
5a^2b(a + b)^2 + 5ab^2(a + b) =
5ab(a + b)(a(a + b) + b) =
5ab(a + b)(a^2 + ab + b^2)

> 
> Desses de fatora��o tem uns mais complexos com raiz e tal mas vou tentar
> mais um pouco mais antes de mandar.
> Agora uns de matem�tica b�sica:
> Resolver:
> (x+10)^(1/2) - 6/[(x+10)^(1/2)] = 5
Faca y = (x+10)^(1/2). Assim, a equacao ficarah:
y - 6/y = 5 ==>
y^2 - 5y - 6 = 0 ==>
y = -1  ou  y = 6 ==>
(x+10)^(1/2) = -1   ou   (x+10)^(1/2) = 6.
A primeira equacao nao tem solucao pois, por definicao, raizes quadradas sao
positivas.
A segunda resulta em: x + 10 = 36 ==> x = 26

> 2x^2 +3x - 3 + (2x^2 +3x +9)^(1/2) = 30
y = (2x^2 + 3x + 9)^(1/2) ==>
y^2 - 12 + y = 30 ==>
y^2 + y - 42 = 0 ==>
y = -7   ou   y = 6 ==>
y = 6 ==>
2x^2 + 3x + 9 = 36 ==>
2x^2 + 3x - 27 = 0 ==>
x = -9/2   ou   x = 3

> -3/[(x+2)^(1/2)] - (x)^(1/2) = (x+1)^(1/2)
Esse nao tem solucoes reais, pois se voce re-escrever:
-3/[(x+2)^(1/2)] = x^(1/2) + (x+1)^(1/2)
o lado esquerdo serah sempre negativo e o lado direito sempre positivo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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