Re: [obm-l] Geometria-A Ressurreiçao!!!!!

[JoaoCarlos_Junior@xxxxxxxxxxxxx]

Dirichilet: Ola pacientes!!!!!Hoje eu mando um problema que ninguém da
lista se atreveu a fazer:
  No  triangulo  ABC,com angBAC=60°,G e um ponto de CB com CB=3*CG,e E é um

  ponto  de  AC tal que IE e paralelo a AB com I incentro de ABC.Mostre que

  2*angCEG=angACB=angC.

  Aventurem-se e divirtam-se!!!!

                                        OBS

        Veja  no enunciado acima que troquei algumas letras. É que fui para

  casa com o problema na cabeça, isto é, sem o enunciado escrito.

        Bem,   my   doctor!   Acredito   tratar-se  de  certo  "braço"  com

  trigonometria. A não ser que haja outra solução, mas para mim, para o meu

  nível, que não é alto, é Lei dos Senos e trigonometria braçal.



                              Tentativa de Resolução

        Suponha  que  os ângulos ACI e GEC são iguais, e prove que CG é 1/3

  do lado a, ou melhor, que b/CG = 3*(b/a). OK?

        Na  minha  figura,  AC é a base do triângulo, isto é, desenhei este

  lado na horizontal. Assim:

  1  -  Calcule IM em função de AI. Então, AE em função de AI. A seguir, se

  terá CE em função de b e AI.

  2 - No triângulo ACI, AI relaciona-se com b. Lei dos Senos.

  3 ? No triângulo CEG, CG relaciona-se com CE. Lei dos Senos.

  4  -  De 1,2 e 3, temos a razão b/CG em função do seno e coseno do ângulo

  C/2.

  5 - No triângulo ABC, a relaciona-se com b. Lei dos Senos.

  E então, de 4 e 5, prova-se a questão.

  Algumas partes:

  CE=b-sqrt(3)/3*AI

  CE = 1 ? sqrt(3)/3*(sen(c/2))/(sen(c/2)*sqrt(3)/2+cos(c/2)*1/2)

  Logo:

  b/CE = (sen(c/2)*sqrt(3)+cos(c/2))/(sen(c/2)*sqrt(3))/3+cos(c/2))

  b/CG = (b/CE)*(sen(3C/2)/sen(c/2))

  Faça:

  b/CG = 3*b/a = 3*(senC + (1/sqrt(3))*cosC)

  Você chegará a:

  sen(c/2+30))*(1+2cosC)*sqrt(3)=sen(c/2+60)*sen(C+60)*6*(1/sqrt(3))

  O que, com um pouco de braço, se verá que é verdade.

  Um forte abraço,

  João.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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