Re: [obm-l] Pedras no sapatos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Pedras no sapatos

on 09.05.03 00:22, Igor Correia Oliveira at basketboy_igor@bol.com.br wrote:

> Ol�,
> Estou com algumas "pedras no sapato". Se algu�m puder "tirar algumas" dessas "pedras", serei grato.
> Vamos �s "pedras"!
>  
> 1�) � poss�vel provar se P - 1 = (2^x)*(3^x), sendo P e x naturais, ent�o P � obrigatoriamene um n�mero primo?
> 2�) Cosidere todas as fun��es f de N em N, onde N � o conjunto de todos os inteiros positivos que satisfazem f((T�)*f(S))=S*(f(T))�, para quaisquer S e T em N. Determine o menor valor poss�vel para f(1998).
>  
> 3�) Seja I o incentro do tri�ngulo ABC. Sejam K, L, M os pontos onde o c�rculo inscrito em ABC toca os lados BC, CA e AB, respectivamente.  A reta paralela � MK passando por B encontra as retas LM e LK em R e S, respectivamente. Mostre que o �ngulo RIS � agudo.
>  
> 4�) Determine todos os pare (a,b) de inteiros positivos tais que ab� + b + 7 divide a�b + a + b.
>  
> 5�) Provar a igualdade:
> sen(1�) + sen(2�) + sen(3�) + ... + sen(179�) + sen(180�) =ctg(30�)
>
>
> Oi, Igor:
>
> Na verdade a soma de senos do no. 5 eh igual a csc(1 grau) + ctg(1 grau).
>
> Para provar isso, escreva:
>
> S = sen(1) + ... + sen(179).
>
> Levando em conta que sen(90) = 1  e  sen(180-x) = sen(x),  podemos escrever:
>
> S = 1 + 2*[sen(1) + ... + sen(89)] ==>
>
> P = (S-1)/2 = sen(1) + ... + sen(89)
>
> P eh igual a soma dos senos de angulos em PA, para a qual existe uma formula pronta, a qual pode ser deduzida usando nos. complexos (vale a pena tentar - nao eh muito dificil - a ideia eh usar que sen(x) = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i), somar as duas PG's resultantes (de termos complexos) e voltar a forma trigonometrica para separar as partes real e imaginaria).
>
> Voce vai achar que:
> P = (1 - sen(1) + cos(1))/(2sen(1)) = (csc(1) + ctg(1) - 1)/2 = (S - 1)/2 ==>
> P = csc(1) + ctg(1).
>
>
> Um abraco,
> Claudio.