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Re: [obm-l] Resquício da pequena lista de dúvidas
Caro Igor,
Eu ja' havia comentado alguns desses problemas:
>
>Ol=E1,
>Agrade=E7o aos colegas que ajudaram-me na resolu=E7=E3o de algumas =
>quest=F5es. Retorno com o resqu=EDcio das d=FAvidas.
>=20
>1=B0) (IMO/1996) Let ABCDEF be a convex hexagon such that AB||DB, =
>BC||///ef and CD||AF. Let Ra, Rc, Re denote the circumradii or triangles =
>FAB, BCD, DEF, respectively, and let P denote the perimeter or hexagon. =
>Prova that Ra + Rc + Re >=3D P/2.
Bem, como todos os problemas da IMO, esse tem uma solucao em
http://www.kalva.demon.co.uk/imo.html , mais precisamente em
http://www.kalva.demon.co.uk/imo/isoln/isoln965.html
>2=B0) Vietnam
>
>i) Solve the system of equations=20
>
>raiz(3x)*[1+1/(x+y)]=3D2
>
>riaz(7y)*[1-1/(x+y)]=3D4*raiz(2)
>10)Resolva o sistema de equa=E7=F5es:
> i)raiz(3x)*[1+1/(x+y)]=3D2
>ii)raiz(7y)*[1-1/(x+y)]=3D4*raiz(2)
>
Isso nao parece ter uma resposta muito bonitinha... Fazendo s=x+y eu obtive
(com alguma ajuda do mathematica, por preguica...) os seguintes valores
possiveis para s (isolamos x e y em funcao de s e somamos: deve dar s):
-5 - 2 I Sqrt[6] -5 + 2 I Sqrt[6]
Out[13]= {{s -> ----------------}, {s -> ----------------},
7 7
11 - 4 Sqrt[7] 11 + 4 Sqrt[7]
{s -> --------------}, {s -> --------------}}
3 3
>
>ii) Determine all functions f: N -> N satisfying (for all n E N) f(n) + =
>f(n+1) =3D f(n+2)*f(n+3) - 1996
>
>iii) Let a,b,c,d be four nonnegative real numbers satisfying the =
>condition 2(ab + ac + ad + bc+ bd + cd) + abc + abd + acd + bcd =3D 16. =
>Prove that a + b + c + d >=3D (2/3)*(ab + ac + ad + bc + bd + cd) and =
>determine when equality occurs.
>
>
>11) Seja a,b,c,d 4 n=FAmeros reais n=E3o negativos que=20
>satisfazem a condi=E7=E3o=20
>2*(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd=3D16.
>Prove que a+b+c+d>=3D2/3*(ab+ac+ad+bc+bd+cd) e determine o=20
>caso de igualdade.
>
O enunciado implica que o polinomio P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) tem quatro
raizes nao negativas, e portanto sua derivada tambem (pelo teorema do valor
medio). Seja entao P'(x)=4(x-u)(x-v)(x-w).Temos 3(a+b+c+d)=4(u+v+w),
2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)=4(uv+uw+vw) e abc+abd+acd+bcd=4uvw. Assim, a condicao
2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd=16 equivale a uv+uw+vw+uvw=4. A
conclusao equivale a u+v+w>=uv+uw+vw. Multiplicando por u+v+uv e usando
w(u+v+uv)=4-uv, temos que a conclusao segue de
(u+v)(u+v+uv)+4-uv>=uv(u+v+uv)+(u+v)(4-uv) (note que se u+v+uv=0 entao
u=v=0, e nao poderiamos ter uv+uw+vw+uvw=4). Essa desigualdade pode ser
escrita como (u+v-2)^2-uv(uv-u-v+1)>=0, ou seja,
((u-1)+(v-1))^2-uv(u-1)(v-1)>=0, e essa ultima desigualdade segue de
0<=uv=4-(uw+vw+uvw)<=4. So' podemos ter igualdade se u=v=1 (quando w tambem
e' 1) ou quando uv=0, u+v=2, caso em que w=2, ou quando uv=4 e u=v, caso em
que u=v=2 e w=0. Os ultimos casos nao sao possiveis (senao
P'(x)=4x(x-2)^2>=0 para x>=0, donde P(x) seria crescente para x>=0, e logo,
como abc+abd+acd+bcd=4uvw=0, todas as raizes de P deveriam ser iguais a 0,
donde u=v=w=0, absurdo), e no primeiro devemos ter a=b=c=d=1 (pois
(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+(d-1)^2=(a+b+c+d)^2-4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+4=
=(4(u+v+w)/3)^2-8(uv+uw+vw)+4=4^2-8.3+4=0), que e' assim o unico caso de
igualdade.
>3=B0) Irish Mathematics Olympiad Training 2000
>
>i)Find all integers x,y satisfying the equation
>x^3+y^3=3D(x-y).1997^2=20
>
>ii)Find a solution of the simultaneous equations
>3[x-y(x=B2-y=B2)^=BD] =3D (1-x=B2+y=B2)^=BD=20
>5[y-x(x=B2-y=B2)^=BD] =3D (1-x=B2+y=B2)^=BD=20
>
>4=B0) (Ibero 96) Determine todos os poss=EDveis valores da soma dos =
>d=EDgitos de um quadrado perfeito.
>
>
Abracos,
Gugu
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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