Re: [obm-l] FW: Problema dificil

[Pedro Antonio Santoro Salomão <ssalomao@xxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: "Marcio" <marciocohen@superig.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, April 23, 2003 10:36 PM
Subject: Re: [obm-l] FW: Problema dificil


> Oi Claudio. Acho que o que eu fiz esta certo.. De uma conferida.
>     Chame os termos da sua sequencia de b1,b2,...,b100, com b1 <= b2 <= b3
> <= b4 <=... <= b100
> (note que essa reordenacao mantem a propriedade mencionada no enunciado).
>     Para facilitar a notacao, voce pode ainda diminuir b1 de todo mundo e
> criar uma nova sequencia c1, c2, ..., c100 que ainda satisfaz a
propriedade
> (tanto a media de 8 como a de 9 termos apenas foram diminuidas de b1, e
> portanto as relacoes de igualdade se mantem). Note que c1 =
> 0<c2<c3<...<c100.
>
>     Agora considere a media m = (c1+c2+...+c8)/8.
> Veja que, devido a ordenacao que fizemos, a menor media de 9 numeros que
> pode existir eh M = (c1+c2+..+c8+c9)/9 = (8m+c9)/9
> Em particular, essa menor media nao pode ser maior que m (pq se ela for,
> todas as outras tmb serao!).
> Logo, (8m+c9)/9 <= m donde m >= c9.
> Por outro lado, m <= (c9+c9+...+c9)/8 = c9 , pois c1 <=c9, c2 <= c9, etc..
> Logo, deve ocorrer a igualdade acima, e portanto 0=c1=c2=...=c9
>
> Agora voce usa um raciocinio semelhante.. Suponha por absurdo que c10 > 0
>     Considere a media m = c10 / 8 (pegando com outros 7 zeros dentre
> c1,c2,...,c9).
> A menor media de 9 termos nao nula eh M = c10/9, que nao serve pois  c10
eh
> nao nulo.
> A segunda menor eh M' = (c10+c11)/9 > 2(c10) / 9 > (c10)/8. Contradicao.
> Logo, c10 = 0.

Aqui tem um probleminha. A segunda menor media não nula com 9 números
poderia ser c11/9, pegando outros 8 zeros de c1,...,c9.
A partir daí as coisas começam a complicar. Pelo menos por esse caminho.

Abraço. Pedro.


>
> De forma analoga, voce conclui que c11=c12=...=c100=0. Logo, a sequencia
> original era constante.
>
> Marcio
>
> ----- Original Message -----
> From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> To: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Wednesday, April 23, 2003 10:29 AM
> Subject: [obm-l] FW: Problema dificil
>
>
> >
> > Caros colegas da lista:
> >
> > Aqui vai um problema que eu levei algumas semanas pra resolver e, mesmo
> > assim, somente depois que me deram uma dica:
> >
> > Uma sequencia de 100 numeros reais tem a seguinte propriedade:
> > Para cada subsequencia de 8 termos, existe uma subsequencia de 9 termos
> que
> > tem a mesma media aritmetica que a de 8 termos.
> > Prove que a sequencia eh constante.
> >
> > Daqui a alguns dias eu dou a dica.
> >
> > Tenho muito interesse em ver alguma solucao diferente da minha (e de
> > preferencia mais simples).
> >
> > Um abraco,
> > Claudio.
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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