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Re: [obm-l] Problema proposto 74 eureka 15...
Em e-mails recentes (de 20/4) o Shine e eu provamos sem hipoteses
adicionais que f(x)=f(0)cos(x)+f(pi/2)sen(x) para todo x. Assim, f pode ser
qualquer combinacao linear de sen(x) e cos(x).
Abracos,
Gugu
>
>Nao consegui muita coisa alem disso mas acho que esse cosseno nao e o mais importante poisc a diferencialidade se estende a varias funçoes...
> Artur Costa Steiner <artur_steiner@usa.net> wrote:Este problema jah circulou na lista. O Claudio chegou a uma soluçao
>interessante assumindo diferenciabilidae de f. As sua solucoes, que naum
>sao as unicas, sao um caso particular da funcao que o Claudio achou.
>Uma outra hipotese trivial e a funcao identicamente nula em R (acho que
>tambem estah englobada na solucao do Claudio)
>Eu acho que sem assumir alguma condicao como diferenciabilidade fica
>muito dificil garantir que se encontraram todas as funcoes.
>Artur
>
>>-----Original Message-----
>>From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
>[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-
>>rio.br] On Behalf Of rmr-olimp
>>Sent: Saturday, April 19, 2003 7:21 PM
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: [obm-l] Problema proposto 74 eureka 15...
>>
>>Problema proposto 74 eureka 15...
>>
>>Ache todas as funçoes f: R -> R tais que:
>>f(x+y)+f(x-y)=2.f(x).cos(y)
>>
>>fazendo:
>>x+y=a
>>x-y=b
>>
>>Substituindo:
>>f(a)+f(b)=2.f((a+b)/2).cos((a-b)/2)
>>
>>Da trigonometria:
>>sen(a)+sen(b)=2.sen((a+b)/2).cos((a-b)/2)
>>cos(a)+sen(b)=2.cos((a+b)/2).cos((a-b)/2)
>>
>>Logo f(x)=sen(x) ou f(x)=cos(x)
>>
>>O que eu não sei provar é se essas são as únicas soluções
>>e caso existam encontrá-las..
>>
>>Se alguém puder quebrar um galho e me ajudar seria ótimo!!
>>
>>Rodrigo
>>
>>
>>
>>_______________________________________________________________________
>___
>>Seleção de Softwares UOL.
>>10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua família.
>>http://www.uol.com.br/selecao
>>
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>>=======================================================================
>==
>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>>O administrador desta lista é
>>=======================================================================
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é
>=========================================================================
>
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>---------------------------------
>Yahoo! Mail
>O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso POP3, filtro contra spam.
>--0-2026124008-1051028844=:23457
>Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1
>Content-Transfer-Encoding: 8bit
>
><DIV>
><P>Nao consegui muita coisa alem disso mas acho que esse cosseno nao e o mais importante poisc a diferencialidade se estende a varias funçoes...
><P> <B><I>Artur Costa Steiner <artur_steiner@usa.net></I></B> wrote:
><BLOCKQUOTE style="PADDING-LEFT: 5px; MARGIN-LEFT: 5px; BORDER-LEFT: #1010ff 2px solid">Este problema jah circulou na lista. O Claudio chegou a uma soluçao<BR>interessante assumindo diferenciabilidae de f. As sua solucoes, que naum<BR>sao as unicas, sao um caso particular da funcao que o Claudio achou. <BR>Uma outra hipotese trivial e a funcao identicamente nula em R (acho que<BR>tambem estah englobada na solucao do Claudio)<BR>Eu acho que sem assumir alguma condicao como diferenciabilidade fica<BR>muito dificil garantir que se encontraram todas as funcoes.<BR>Artur<BR><BR>>-----Original Message-----<BR>>From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br<BR>[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-<BR>>rio.br] On Behalf Of rmr-olimp<BR>>Sent: Saturday, April 19, 2003 7:21 PM<BR>>To: obm-l@mat.puc-rio.br<BR>>Subject: [obm-l] Problema proposto 74 eureka 15...<BR>><BR>>Problema proposto 74 eureka 15...<BR>><BR>>Ache todas as funçoes f: R -> R tais que:<BR>>f!
(x+!
>y)+f(x-y)=2.f(x).cos(y)<BR>><BR>>fazendo:<BR>>x+y=a<BR>>x-y=b<BR>><BR>>Substituindo:<BR>>f(a)+f(b)=2.f((a+b)/2).cos((a-b)/2)<BR>><BR>>Da trigonometria:<BR>>sen(a)+sen(b)=2.sen((a+b)/2).cos((a-b)/2)<BR>>cos(a)+sen(b)=2.cos((a+b)/2).cos((a-b)/2)<BR>><BR>>Logo f(x)=sen(x) ou f(x)=cos(x)<BR>><BR>>O que eu não sei provar é se essas são as únicas soluções<BR>>e caso existam encontrá-las..<BR>><BR>>Se alguém puder quebrar um galho e me ajudar seria ótimo!!<BR>><BR>>Rodrigo<BR>><BR>><BR>><BR>>_______________________________________________________________________<BR>___<BR>>Seleção de Softwares UOL.<BR>>10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua família.<BR>>http://www.uol.com.br/selecao<BR>><BR>><BR>>=======================================================================<BR>==<BR>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em<BR>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicol!
au/!
>olimp/obm-l.html<BR>>O administrador desta lista é <NICOLAU@MAT.PUC-RIO.BR><BR>>=======================================================================<BR>==<BR><BR>=========================================================================<BR>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em<BR>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html<BR>O administrador desta lista é <NICOLAU@MAT.PUC-RIO.BR><BR>=========================================================================</BLOCKQUOTE></DIV><p><br><hr size=1><b><a href="http://br.mail.yahoo.com/">Yahoo! Mail </a></b><br>
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>O administrador desta lista i <nicolau@mat.puc-rio.br>
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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