Nao consegui muita coisa alem disso mas acho que esse cosseno nao e o mais importante poisc a diferencialidade se estende a varias funçoes...
Artur Costa Steiner <artur_steiner@usa.net> wrote:
Este problema jah circulou na lista. O Claudio chegou a uma soluçao
interessante assumindo diferenciabilidae de f. As sua solucoes, que naum
sao as unicas, sao um caso particular da funcao que o Claudio achou.
Uma outra hipotese trivial e a funcao identicamente nula em R (acho que
tambem estah englobada na solucao do Claudio)
Eu acho que sem assumir alguma condicao como diferenciabilidade fica
muito dificil garantir que se encontraram todas as funcoes.
Artur
>-----Original Message-----
>From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-
>rio.br] On Behalf Of rmr-olimp
>Sent: Saturday, April 19, 2003 7:21 PM
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Problema proposto 74 eureka 15...
>
>Problema proposto 74 eureka 15...
>
>Ache todas as funçoes f: R -> R tais que:
>f(x+y)+f(x-y)=2.f(x).cos(y)
>
>fazendo:
>x+y=a
>x-y=b
>
>Substituindo:
>f(a)+f(b)=2.f((a+b)/2).cos((a-b)/2)
>
>Da trigonometria:
>sen(a)+sen(b)=2.sen((a+b)/2).cos((a-b)/2)
>cos(a)+sen(b)=2.cos((a+b)/2).cos((a-b)/2)
>
>Logo f(x)=sen(x) ou f(x)=cos(x)
>
>O que eu não sei provar é se essas são as únicas soluções
>e caso existam encontrá-las..
>
>Se alguém puder quebrar um galho e me ajudar seria ótimo!!
>
>Rodrigo
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é
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