Re: [obm-l] Problema proposto 74 eureka 15...

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Oi Shine,
   Note que f(x)=cos(x) e' solucao, donde f(0) nao e' sempre 0. De qualquer
jeito e' facil corrigir a sua solucao: trocando f(x) por f(x)-f(0).cos(x)
podemos supor que f(0)=0.
   Abracos,
           Gugu
>
>Oi pessoal da lista,
>
>Acho que consegui fazer esse problema...
>
>> >Ache todas as funçoes f: R -> R tais que:
>f(x+y)+f(x-y)=2.f(x).cos(y)
>
>Faça x = 0:
>f(y) + f(-y) = 2f(0)cos(y)
>
>Troque x e y de lugar:
>f(x+y)+f(y-x)=2f(y)cos(x)
>
>Some a original com a última:
>2f(x+y) + f(x-y) + f(y-x) = 2f(x)cos(y) + 2f(y)cos(x)
>
>Mas f(x-y) + f(y-x) = 2f(0)cos(y), logo

Aqui f(x-y)+f(y-x)=2f(0)cos(x-y).

>f(x+y) + f(0)cos(y) = f(x)cos(y) + f(y)cos(x)
>
>Faça y=0:
>f(x) + f(0) = f(x) + f(0)cos(x) => f(0) = 0
>
>Agora temos
>f(x+y) = f(x)cos(y) + f(y)cos(x)
>
>Faça y = pi/2:
>f(x+pi/2) = f(pi/2)cos(x)
>
>Logo
>f(x) = f(pi/2)sen(x), ou seja, f(x) = A.sen(x), sendo
>A um real qualquer. Pode-se verificar que todas essas
>servem.
>
>[]'s
>Shine
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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