Re: [obm-l] REGRA DA CADEIA

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Apr 15, 2003 at 11:05:19AM -0300, Domingos Jr. wrote:
> 
> > qual é a demonstração da regra da cadeia?
> > Essa regra pode serr aplicada para expoentes(x^f(x))?Como?
> 
> Depende, a regra da cadeia de funções com 1 variável sai direto da definição
> de derivada através de limites, já foram colocadas algumas demonstrações
> diversas aqui nessa lista mesmo.
> Funções de R^n -> R^m já são mais complicadas e envolvem a matriz
> Jacobiana... (eu nem conheço as demonstrações, se alguém puder indicar um
> material interessante...)

Interessantemente a demonstração do caso geral é talvez mais simples
do que a do caso particular (em cálculo 1 costuma-se dividir em casos
conforme uma das duas derivadas é igual a 0 ou não).

Sejam V e W espaços de Banach (se isso for ir longe demais
pense em V e W como R^n e R^m). Para uma função f: V -> W temos
f'(x0) =  A (onde A é uma transformação linear contínua de V em W;
no caso de R^n e R^m toda transformação linear é contínua) se
podemos escrever

   f(x + x0) = f(x0) + Ax + r(x)

onde |r(x)| << |x|, ou mais precisamente, se para todo epsilon > 0
existir delta > 0 tal que |x| < delta implica |r(x)| < epsilon |x|.

Agora é só juntar as peças: se f(x0) = y0 e

   f(x + x0) = f(x0) + Ax + r(x)
   g(y + y0) = g(y0) + By + s(y)

então

   g(f(x+x0)) = g(f(x0) + Ax + r(x))
              = g(f(x0)) + BAx + B(r(x)) + s(Ax + r(x))

e basta verificar que |B(r(x)) + s(Ax + r(x))| << |x|,
o que não é difícil.

[]s, N.
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================