[obm-l] Re: [obm-l] função exponencial - uma definição

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxx>]

Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br> wrote:
> 
> 
> -----Mensagem original-----
> De: Artur Costa Steiner [mailto:artur_steiner@usa.net]
> Enviada em: quarta-feira, 9 de abril de 2003 08:26
> Para: artur.steiner@mme.gov.br
> Assunto: FW: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] função
> exponencial (de novo)
> 
> 
> 
> 
> Artur Costa Steiner

> >
> Oi, Nicolau:
> 
> Eu gostaria de ver a demonstração do Teorema acima, especialmente a
> passagem
> dos racionais para os reais na parte da existência.
> Com se faz isso sem usar limites?
> 
> Um abraço,
> Claudio.

Cláudio, sem nos basearmos em séries de potências, eu creio que podemos
seguir o seguintes passos.

Inicialmente, verificamos que, com base na definicção que o Nicolau deu,
podemos sem maiores difuldades, concluir que, para qualquer racional r, f(r) =
a^r, sendo a^r definido, para racionais, da forma usual (a^r = raiz índice n
de a^m), r=m/n. Aliás, eu há alguns dias sugeri esta demonstração para a
lista, é bonita e não é difícil. Concluímos também as clássicas
propriedades da função exponencial, como f(0) = 1 e f(-r) = 1/f(r), f
estrit. positiva.

Para estendermos a f para x real, consideremos por ora o caso de base a>1.
Verificamos inicialmente Se r2>r1 são ambos racionais positivos, então
existem inteiros m1 e m2, m2>m1, e um mesmo int, n>0 tais que r1 =m1/n e r2 =
m2/n. Como a>1, segue-se que f é estritamente crescente em Q+.
Considerando-se que a^(-r) = 1/a^r, podemos estender esta propriedade para
todo o Q.
para todo x real, definamos A(x) = {a^r |r<=x, r racional}. Como existe um
racional s>x e f é estrit. crescente em Q, segue-se que A(x) é limitado
superioremente por f(s), existindo assim supremo A(x). Definamos agora g(x) =
a^x = sup A(x), x real. É imediato que se x for racional então g(x) = f(x).
Vamos agora mostrar que g atende ás demais propriedades da função
exponencial. 

1) g é estrit, crescente em R ----  Observamos que se x1 < x2, existem
racionais r1 e r2 tais que x1<r1<r2<x2. Da definição de g e do fato de f ser
estrit. crescente em Q, além de idêntica a g em Q, segue-se que
g(x1)<=g(r1)<g(r2)<=g(x2), o que demosnstra a propriedade.  

2) a^(x+y) = a^x . a^y ------ Seja B o conjunto dos produtos dos elementos de
A(x) e A(y), isto é, B = {z | z= u .v, u em A(x), v em A(y)}. Como u,v>0, e
A(x) e A(y) possuem supremo, segue-se que B também possui e que sup B = sup
A(x) sup A(y). Logo, sup B = g(x) g(y). Vamos agora mostrar que B = A(x+y). Se
z pertence a B, então z = uv para u em A(x), v em A(y). Das definiçoes de
A(x) e A(y) temos que existem racionais r1<=x e r2<=y tais que u = a^r1 e v =
a^r2. Logo, z = a^(r1+r2) e r1+r2 = r<= x+y, do que deduzimos que z está em
A(x+y) pois r é racional. Se, por outro lado, z está em A(x+y), então z =
a^r para um racional r<= x+y. Podemos encontrar racionais r1<=x e r2<= y tais
que r1+r2=r, de modo que z = a^(r1+r2) = a^r1 a^r2 . temos então que a^r1
está em A(x), a^r2 está em A(y) e, portanto, z está em B. Logo, A(x+y) = B
e sup A(x+y) = g(x+y) = sup B = g(x)g(y) = a^x a^y, conforme desejado.

A função g assim definida satisfaz a g(0)=1, g(1) =a e g(x+y) = g(x) g(y)
para todos x e y em R. Sabemos que função exponencial E definida pela série
de potências e por E(x) =  a^x = e^(x Lna) satisfaz a estas mesma
propriedades, é contínua e diferenciável em R, e para racionais, coincide
com a nossa g. Se provarmos agora que a nosssa g é contínua em um único
elemento de R, teremos automaticamente provado que g é contínua em todo R.
Neste caso,  teremos E = g, pois E e g sã ambas cont´nusa em R e idênticas
em Q, o qual é um subconjunto denso de R ( o fecho de Q é R).
Acho que não deve ser muito complicado provar que g é contínua em, digamos,
zero (não provei ainda).

O caso 0<a<1 pode ser tratado de modo similar.
Artur

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