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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações
> Tomei a liberdade de inserir alguns comentarios em sua mensagem. Espero
que
> voce nao se importe.
Ei, é claro que eu não me incomodo. Eu estou tentando aprender alguma coisa.
Eu achava mesmo que a minha narrativa tinha algum erro: surgiu um resultado
geral demais rápido demais. Na verdade, fiquei com vontade de enviar para a
lista justamente por desconfiar da minha solução. Em todo caso, a minha
escorregada parece ser não ter reduzido os irracionais a alguns números
especiais. E se os separássemos?
Seja A o conjunto das raízes quadradas de números primos. Parece-me que
podemos dizer que:
1) A é subconjunto de I.
2) para quaisquer x,y em A, x+y é irracional.
3) para quaisquer x,y em A, x/y é irracional.
O problema é que não tenho tempo para tentar provar essas três
proposiçõezinhas. Fazendo as pequenas alterações, parece que a prova da
questão 1) vale. Ou não vale?
----- Original Message -----
From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, April 04, 2003 1:30 AM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações
> Caro Diego:
>
>
> on 03.04.03 23:53, Diego Navarro at diego@navarro.mus.br wrote:
>
> > MensagemSuponha que não existem complexos. Na verdade, isso é mais por
> > conveniência, já que não sei nada sobre complexos, mas parece razoável
que a
> > soma de dois números reais seja real.
> >
> > Um número racional é aquele que pode ser expresso pelo quociente de dois
> > inteiros p e q. Suponha, por absurdo, que
> >
> > sqrt(3)+sqrt(5)=p/q
> > q(sqrt(3)+sqrt(5))=p
> > q*sqrt(3)+q*sqrt(5)=p
> >
> > Ora, para que a soma q*sqrt(3)+q*sqrt(5) seja inteira, é preciso que
cada
> > parcela seja racional
>
> > (big dúvida: será mesmo? Dois números irracionais
> > podem ter soma inteira?
>
> Sim. Por exemplo: 2 + raiz(2) e 2 - raiz(2) sao ambos irracionais mas tem
> soma = 4.
>
> O problema 1 estah mal formulado, pois da a impressao de que se a e b sao
> irracionais entao a+b eh irracional, o que, pelo exemplo acima, nao eh
> sempre verdade, apesar de ser verdade com a = raiz(3) e b = raiz(5).
>
>
> > Alguém vai ter que conferir isto aqui). A única
> > forma de que isso aconteça é
> >
> > (i) q=a/sqrt(3) e q=b/sqrt(5); a e b racionais
> >
> >
> > a/sqrt(3) = b/sqrt(5)
> > a*sqrt(5)=b*sqrt(3)
> > a/b = sqrt(3)/sqrt(5) <--- irracional. Contradizendo (i).
> >
> Este argumento eh invalido.
> raiz(3)/raiz(5) eh de fato irracional mas nao decorre simplesmente do fato
> de raiz(3) e raiz(5) serem ambos irracionais.
>
> Por exemplo, raiz(18) e raiz(2) sao ambos irracionais, mas
raiz(18)/raiz(2)
> = 3, que eh racional.
>
> > É uma demonstração meio trapaceada. Se for válida, é fácil expandir para
> > quaisquer primos, já que a sqrt() de um primo é sempre irracional.
> Verdade, mas isso nao foi demonstrado.
>
> >Será que dá para demonstrar que a soma de dois irracionais não pode ser
> >racional - excetuando o 0?
> Nao, pois isso nao eh verdade. Vide exemplo acima.
>
> > Um, suponha, por absurdo, que dois números irracionais podem ter soma
> > racional diferente de zero.
> >
> > (i) x + y = p/q
> > y=(p-qx)/q
> >
> > x-y = x - (p-qx)/q = (qx-p-qx)/q=-p/q
> >
> > Mas por (i), x+y = p/q; logo, -x-y = -p/q
> >
> > x-y=-x-y ==> x = -x, o que só vale para 0. E nesse caso, y = p/q, ou
seja,
> > racional. Logo, dois números irracionais diferentes de zero não podem
ter
> > soma racional diferente de zero.
> >
> > Tá, esta segunda parte também parece um pouco trapaceada. Acho que
preciso
> > de ajuda. Mas se isto for verdade, a demonstração 3) é trivial, e as
três
> > estão respondidas.
> >
>
> A melhor maneira de se resolver os tres problemas de uma vez so eh
provando
> o seguinte resultado mais geral:
>
> Seja N um inteiro nao negativo. Entao:
> raiz(N) eh racional se e somente se N eh um quadrado perfeito.
> Dem:
> Se N = 0 ou N = 1, o resultado eh obvio. Assim, suponhamos que N >= 2.
>
> Se N eh um q.p., entao existe um inteiro nao negativo M tal que N = M^2.
> Assim, raiz(N) = raiz(M^2) = M, que eh inteiro e, portanto, racional.
>
> Se raiz(N) eh racional, entao existem inteiros positivos P e Q, primos
entre
> si, tais que raiz(N) = P/Q.
> Isso implica que N = P^2/Q^2, ou seja, P^2 = N * Q^2.
> Naturalmente temos que N divide P^2.
> Por outro lado, como mdc(P,Q) = 1, cada primo que divide P^2 terah
> necessariamente que dividir N. Isso implica que P^2 divide N.
> Assim, concluimos que P^2 e N sao dois inteiros positivos que se dividem
> mutuamente. Logo, sao iguais ==> N = P^2 eh um quadrado perfeito.
> ------
>
> Repare que provamos um pouco mais do que queriamos, a saber, que se N eh
um
> inteiro nao negativo e raiz(N) eh racional, entao raiz(N) eh inteiro.
>
> ******
>
> Agora, fica mais facil resolver os problemas.
>
> Por exemplo, o segundo sai assim:
>
> p e q primos ==>
> p*q nao eh quadrado perfeito (por que?) ==>
> raiz(p*q) eh irracional (consequencia do resultado demonstrado acima)
>
> Suponha que a = raiz(p) + raiz(q) seja racional.
> Entao a^2 = p + q + 2*raiz(p*q) eh racional ==>
> (a^2 - p - q)/2 = raiz(p*q) eh racional ==>
> contradicao ==>
> a = raiz(p) + raiz(q) eh irracional.
>
> Um abraco,
> Claudio.
> >
> >
> > ----- Original Message -----
> > From: Hely Jr.
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Sent: Thursday, April 03, 2003 10:58 PM
> > Subject: [obm-l] Demonstrações
> >
> >
> > Alguem poderia me ajudar nestas demonstrações
> >
> > 1) sabendo que sqrt(3) e sqrt(5) são irracionais, verifique que sqrt(3)
+
> > sqrt(5) é irracional.
> >
> > 2) sejam p> 0 e q>0 primos distintos. verifique que sqrt(p) + sqrt(q) é
> > irracional
> >
> > 3) se p e q sào inteiros positivos distintos e pelo menos um dos numeros
> > sqrt(p) ou sqrt(q) é irracional, então sqrt(p) + sqrt(q) é tb
irracional.
> >
> > desde ja agradeço
> >
> >
=========================================================================
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
> >
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> >
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