[obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações

["Diego Navarro" <diego@xxxxxxxxxxxxxx>]

MensagemSuponha que não existem complexos. Na verdade, isso é mais por
conveniência, já que não sei nada sobre complexos, mas parece razoável que a
soma de dois números reais seja real.

Um número racional é aquele que pode ser expresso pelo quociente de dois
inteiros p e q. Suponha, por absurdo, que

sqrt(3)+sqrt(5)=p/q
q(sqrt(3)+sqrt(5))=p
q*sqrt(3)+q*sqrt(5)=p

Ora, para que a soma q*sqrt(3)+q*sqrt(5) seja inteira, é preciso que cada
parcela seja racional (big dúvida: será mesmo? Dois números irracionais
podem ter soma inteira? Alguém vai ter que conferir isto aqui). A única
forma de que isso aconteça é

(i) q=a/sqrt(3)   e q=b/sqrt(5); a e b racionais


a/sqrt(3) = b/sqrt(5)
a*sqrt(5)=b*sqrt(3)
a/b = sqrt(3)/sqrt(5) <--- irracional. Contradizendo (i).

É uma demonstração meio trapaceada. Se for válida, é fácil expandir para
quaisquer primos, já que a sqrt() de um primo é sempre irracional. Será que
dá para demonstrar que a soma de dois irracionais não pode ser racional -
excetuando o 0?

Um, suponha, por absurdo, que dois números irracionais podem ter soma
racional diferente de zero.

(i) x + y = p/q
y=(p-qx)/q

x-y = x - (p-qx)/q = (qx-p-qx)/q=-p/q

Mas por (i), x+y = p/q; logo, -x-y = -p/q

x-y=-x-y ==> x = -x, o que só vale para 0. E nesse caso, y = p/q, ou seja,
racional. Logo, dois números irracionais diferentes de zero  não podem ter
soma racional diferente de zero.

Tá, esta segunda parte também parece um pouco trapaceada. Acho que preciso
de ajuda. Mas se isto for verdade, a demonstração 3) é trivial, e as três
estão respondidas.



----- Original Message -----
From: Hely Jr.
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, April 03, 2003 10:58 PM
Subject: [obm-l] Demonstrações


Alguem poderia me ajudar nestas demonstrações

1) sabendo que sqrt(3) e sqrt(5) são irracionais, verifique que sqrt(3) +
sqrt(5) é irracional.

2) sejam p> 0 e q>0 primos distintos. verifique que sqrt(p) + sqrt(q) é
irracional

3) se p e q sào inteiros positivos distintos e pelo menos um dos numeros
sqrt(p) ou sqrt(q) é irracional, então sqrt(p) + sqrt(q) é tb irracional.

desde ja agradeço

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